通关搜索和图论 day_14 -- Dijkstra(朴素版 + 堆优化版)
最短路分为 单源最短路 和 多源汇最短路
单源一般是求从一个点 到其他所有点的最短距离
源点 --- 起点 汇点 --- 终点
多源就是会有很多个询问，起点和终点都是不确定的
单源中又可以分为 所有边都是正数的 和 存在负权边的
朴素版
比方说我们有图如下
1-->2 距离为2
2-->3 距离为1
1-->3 距离为4
第一步我们初始化距离，d[1] = 0 其余所有点的距离都是正无穷
第二步找到所有未确定最短路的点中，距离最小的点（dist值最小） 那么也就是 dist[1]，因为其他所有都是正无穷
那么这个点的最短路径就确定了，一定是0
我们再用这个点去更新他到所有点的距离，那么 dist[2] = 2,dist[3] = 4
第二次迭代，继续找所有未确定最短路的点中最小的点---dist[2]
那么这个点的最短路确定了，是2
再用这个点更新其他所有点的距离，那么dist[3] = dist[2] + 1 比之前的 4 小，那么更新 dist[3] = 3
模板
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
例题
849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 −1。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边长均不超过10000。输入样例：
3 3 1 2 2 2 3 1 1 3 4输出样例：
3
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int n,m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n ; j++) {
// 在所有 st == false 的点中，找一个 dist 最小的点
if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
{
t = j;
}
}
if(t == n) break;
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n ; j++) {
dist[j] = min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
{
return -1;
}else{
return dist[n];
}
}
int main() {
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
// 0x3f = 1061109567
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--)
{
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = min(g[a][b],c);
}
int t = dijkstra();
cout << t << endl;
return 0;
}
堆优化版本
在找dist最小的数这个地方可以进行优化 == 在一堆数中找一个最小数 == 堆
我们用堆来存储所有点到起点的最短距离
模板
typedef pair<int, int> PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}
例题
850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
如果路径不存在，则输出 −1。
数据范围
1≤n,m≤1.5×105,
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 109。输入样例：
3 3 1 2 2 2 3 1 1 3 4输出样例：
3
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1e6;
int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}
int dijkstra()
{
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
heap.push({0,1});
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second,distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1 ; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if(dist[j]> distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j],j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
{
return -1;
}else{
return dist[n];
}
}
int main() {
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
memset(h,-1,sizeof h);
while(m--)
{
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
add(a,b,c);
}
int t = dijkstra();
cout << t << endl;
return 0;
}
