通关搜索和图论 day_13 -- 树和图的深搜和宽搜和拓扑排序
树和图的存储
树是一种特殊的图，无环连通图
图分为有向图和无向图
如果是无向图就建立两个边 a -> b && b -> a ，所有无向图就是特殊的有向图
邻接矩阵 g[a,b] 记录 a -> b 如果有权重，其值就是权重，没有权重这个值就是一个 布尔值，true代表有边，邻接矩阵不能存储重边
邻接表 每个点上都是一个单链表，每个单链表存储每个点能走到哪些点
如图所示的图一共有四个点，所以开 4 个单链表
1：--> 3 --> 4 --> 空
2：--> 1 --> 4 --> 空
3：--> 4 --> 空
4：--> 空
单链表中点的次序不重要
此时我们插入一条 2 --> 3 的点
那么就找到 2 这个单链表 然后把 3 插入这个单链表，一般选择是头插
也可以用 vector 来模拟邻接表
模板
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010 ， M = N * 2;
// h存的 N 个链表的链表头,e存的是我们所有结点的值是多少，ne存的是每个结点的 next值是多少
int h[N],e[M],ne[M],idx;
void add(int a,int b){
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
int main()
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
//初始化
memset(h,-1,sizeof h);
return 0;
}
树和图的深度优先遍历
模板
void dfs(int u)
{
st[u] = true // u 已经被遍历了
for(int i = h[u];i != -1;i = ne[i])
{
int j = e[i]; // 定的图里的编号是多少
if(!st[j])
{
dfs(j);
}
}
}
例题
给定一颗树，树中包含 n 个结点（编号 1∼n）和 n−1 条无向边。
请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。
输入格式
第一行包含整数 n，表示树的结点数。
接下来 n−1行，每行包含两个整数 a 和 b，表示点 a和点 b 之间存在一条边。
输出格式
输出一个整数 m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。
数据范围
1≤n≤105
输入样例
9 1 2 1 7 1 4 2 8 2 5 4 3 3 9 4 6输出样例：
4
例如我有如下树
此时如果我把 1 删除后，剩下三个连通块分别为
那么最大点数为 4 ，如果删掉 2
最大的点树就是 6
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10; //数据范围是10的5次方
const int M = 2 * N; //以有向图的格式存储无向图，所以每个节点至多对应2n-2条边
int h[N]; //邻接表存储树，有n个节点，所以需要n个队列头节点
int e[M]; //存储元素
int ne[M]; //存储列表的next值
int idx; //单链表指针
int n; //题目所给的输入，n个节点
int ans = N; //表示重心的所有的子树中，最大的子树的结点数目
bool st[N]; //记录节点是否被访问过，访问过则标记为true
void add(int a,int b){
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
// 返回以 u 为根的子树的大小
int dfs(int u) {
int res = 0; //存储 删掉某个节点之后，最大的连通子图节点数
st[u] = true; //标记访问过u节点
int sum = 1; //存储 以u为根的树 的节点数, 包括u，如图中的4号节点
//访问u的每个子节点
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
//因为每个节点的编号都是不一样的，所以 用编号为下标 来标记是否被访问过
if (!st[j]) {
int s = dfs(j); // u节点的单棵子树节点数 如图中的size值
res = max(res, s); // 记录最大联通子图的节点数
sum += s; //以j为根的树 的节点数
}
}
//n-sum 如图中的n-size值，不包括根节点4；
res = max(res, n - sum); // 选择u节点为重心，最大的 连通子图节点数
ans = min(res, ans); //遍历过的假设重心中，最小的最大联通子图的 节点数
return sum;
}
int main()
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
memset(h,-1,sizeof h);
cin >> n;
for(int i = 0;i < n - 1;i++)
{
int a,b;
cin >> a >> b;
add(a,b);
add(b,a);
}
//初始化
dfs(1);
cout << ans << endl;
return 0;
}
树和图的宽度优先遍历
模板
queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
q.push(j);
}
}
}
例题
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环。
所有边的长度都是 1，点的编号为 1∼n。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果从 1 号点无法走到 n 号点，输出 −1。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示存在一条从 a 走到 b 的长度为 1 的边。
输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。
数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
4 5 1 2 2 3 3 4 1 3 1 4输出样例：
1
我第一次发散到这个点的时候，就是我到这个点的最短路径
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int d[N],q[N];
void add(int a,int b)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
int bfs()
{
int hh=0,tt=0;
q[0]=1; //0号节点是编号为1的节点
memset(d,-1,sizeof d);
d[1]=0; //存储每个节点离起点的距离
//当我们的队列不为空时
while(hh<=tt)
{
//取出队列头部节点
int t=q[hh++];
//遍历t节点的每一个邻边
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
int j=e[i];
//如果j没有被扩展过
if(d[j]==-1)
{
d[j]=d[t]+1; //d[j]存储j节点离起点的距离，并标记为访问过
q[++tt] = j; //把j结点 压入队列
}
}
}
return d[n];
}
int main()
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i = 0;i < m;i++)
{
int a,b;
cin >> a >> b;
add(a,b);
}
cout << bfs() << endl;
return 0;
}
拓扑排序
有向图才会有拓扑序列
比方说有图如下
1--2--3 就是一个拓扑序列
拓扑序列要求 对于每条边 起点都要在终点前面，并不是每一个图都有拓扑序
比方说
所以 有向无环图 又被称为拓扑图
每个点有入度和出度，入度就是有多少条边指向自己，出度就是自己指向多少条边
入度为 0 就代表不会有任何一条边要求在我前面
模板
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}
例题
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，点的编号是 1 到 n，图中可能存在重边和自环。
请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 −1。
若一个由图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x,y)，x 在 A 中都出现在 y 之前，则称 A 是该图的一个拓扑序列。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 mm 行，每行包含两个整数 x 和 y，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边 (x,y)。
输出格式
共一行，如果存在拓扑序列，则输出任意一个合法的拓扑序列即可。
否则输出 −1。
数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
3 3 1 2 2 3 1 3输出样例：
1 2 3
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n,m;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int q[N],d[N];
void add(int a,int b)
{
e[idx] = b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
bool topsort()
{
int hh = 0,tt = -1;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
if(!d[i])
{
q[++tt] = i;
}
}
while(hh <= tt)
{
int t = q[hh++];
for(int i = h[t];i != -1;i = ne[i])
{
int j = e[i];
d[j]--;
if(d[j] == 0)
{
q[++tt] = j;
}
}
}
return tt == n-1;
}
int main()
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i = 0;i < m;i++)
{
int a,b;
cin >> a >> b;
add(a,b);
d[b]++;
}
if(topsort())
{
for(int i = 0;i< n;i++)
{
cout << q[i] << " ";
}
}else{
cout << "-1" << endl;
}
}
