通关数据结构 day_09 -- 堆
堆
如何手写一个堆？
- 插入一个数 heap[++size] = x;up(x);
- 求集合当中的最小值 heap[1]
- 删除最小值 heap[1] = heap[size];size--;down(1);
- 删除任意一个元素 heap[k] = heap[size];size--;down(k) or up(k)
- 修改任意一个元素 heap[k] = x;down(k);up(k);
基本结构
堆的本质是一个完全二叉树，也就是除了最后一层结点，剩余层结点都是满的，最后一层从左到右排列
以小根堆为例，每一个点都是小于等于左右儿子的
我们用一个一维数组来存 堆
其中一号点是根节点
x 的左儿子是 2x，右儿子是 2x+1
如果修改的根节点，我们就将他与他的左右儿子比较，将小的那个移到根节点，直到根节点符合逻辑
如果修改的是叶子结点，我们就将他与他的兄弟和父结点比较，同样将小的移到根节点，递归地调用直到符合逻辑
如果用 size 来维护整个堆的大小
我们在做插入操作的时候，就是在 heap[++size] = x，也就是堆的左下方加入新元素，然后在对这个元素进行 up 操作
我们可以很容易地删除 最后一个点 size--
但是我们很难删除第一个点，我们可以用这样的方法来操作
让第一个元素 = 最后一个元素，然后 size--，再对第一个元素 进行一遍 down 操作
同理如果我们要删除第 k 个点的话，我们只需要让 第 k 个元素 = 最后一个元素，size--，如果 heap[k]的值是变大了，那我应该down(k)，如果变小了就 up(k)
模板
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的
// ph[k] = j;hp[j] = k;
int h[N], ph[N], hp[N], size;
// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b)
{
swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
swap(hp[a], hp[b]);
swap(h[a], h[b]);
}
void down(int u)
{
int t = u;
if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
if (u != t)
{
heap_swap(u, t);
down(t);
}
}
void up(int u)
{
while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
{
heap_swap(u, u / 2);
u >>= 1;
}
}
// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);
练习
输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。
输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。
数据范围
1≤m≤n≤105，
1≤数列中元素≤109输入样例：
5 3 4 5 1 3 2输出样例：
1 2 3
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =100010;
int n,m;
int h[N],Size;
void down(int u)
{
int t = u;
if(u*2 <= Size && h[u*2] < h[t])
{
t = u*2;
}
if(u*2+1 <= Size && h[u*2+1] < h[t])
{
t = u*2+1;
}
if(u!=t)
{
swap(h[u],h[t]);
down(t);
}
}
int main()
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cin >> h[i];
}
Size = n;
for(int i = n/2;i;i--)
{
down(i);
}
while(m--)
{
cout << h[1] << " ";
h[1] = h[Size];
Size--;
down(1);
}
return 0;
}
维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：
I x，插入一个数 x；PM，输出当前集合中的最小值；DM，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；D k，删除第 k 个插入的数；C k x，修改第 k 个插入的数，将其变为 x；现在要进行 N 次操作，对于所有第 2 个操作，输出当前集合的最小值。
输入格式
第一行包含整数 N。
接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为
I x，PM，DM，D k或C k x中的一种。输出格式
对于每个输出指令
PM，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。每个结果占一行。
数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。输入样例：
8 I -10 PM I -10 D 1 C 2 8 I 6 PM DM输出样例：
-10 6
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N =100010;
int ph[N],hp[N];
int h[N],Size;
void heap_swap(int a,int b)
{
swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
swap(hp[a],hp[b]);
swap(h[a],h[b]);
}
void down(int u)
{
int t = u;
if(u*2 <= Size && h[u*2] < h[t])
{
t = u*2;
}
if(u*2+1 <= Size && h[u*2+1] < h[t])
{
t = u*2+1;
}
if(u!=t)
{
heap_swap(u,t);
down(t);
}
}
void up(int u)
{
while(u/2 && h[u/2] > h[u])
{
heap_swap(u,u/2);
u/=2;
}
}
int main()
{
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
int n,m=0;
cin >> n;
while(n--)
{
char op[10];
int k,x;
cin >> op;
if(!strcmp(op, "I"))
{
cin >> x;
m++;
Size++;
ph[m] = Size;
hp[Size] = m;
h[Size] = x;
up(Size);
}else if(!strcmp(op,"PM"))
{
cout << h[1] << endl;
}else if(!strcmp(op,"DM"))
{
heap_swap(1,Size);
Size--;
down(1);
}else if(!strcmp(op,"D"))
{
cin >> k;
k = ph[k];
heap_swap(k,Size);
Size--;
down(k);
up(k);
}else{
cin >> k >> x;
k = ph[k];
h[k] = x;
down(k);
up(k);
}
}
return 0;
}
