通关基本算法 day_03 -- 二分算法

整数二分

本质

如果有单调性的话 --> 我可以二分，反之不然

整个区间可以一分为二，我们定义了一个性质，右半边是满足这个性质的，但是左半边不满足

二分可以寻找这个性质的边界

1. 如何二分左半部分的边界点：

2. mid = l + r +1>> 1

3. if(check(mid)) -> true:答案处于 [mid,r] -> 更新区间 l = mid else 答案处于 [l,mid-1] -> 更新区间 r = mid -1;

4. 如何二分右半部分的边界点

5. mid = 1+r >> 1

6. if(check(mid)) -> true:答案处于 [l,mid] -> 更新区间 r = mid else 答案处于 [mid+1,r] -> 更新区间 l = mid+1;

模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

练习

789. 数的范围 - AcWing题库

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

该题的 check：

1. 寻找 x 的起始点 --> 找到一个区间使得区间里所有的数 >= x
2. 如果 q[mid] >= x ，答案一定在 mid 的左边，且不包括 mid，所有更新区间为 r = mid 套用第一个模板
3. 寻找 x 的结束点 --> 找到一个区间使得区间里的所有数 <= x
4. 如果 q[mid] <= x ，答案一定在 mid 的右边，且mid 有可能是答案，所以更新区间为 l = mid 套用第二个模板，修改 mid = l+r+1>>1

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n;
int m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
        scanf("%d",&q[i]);
    }
    
    while(m--)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        
        int l = 0,r= n-1;
        while(l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x)
            {
                r = mid;
            }else{
                l = mid + 1;
            }
        }
        
        if(q[l]!=x)
        {
            cout << "-1 -1" << endl;
        }else{
            printf("%d ",l);
            int l = 0,r= n-1;
            while(l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x)
                {
                    l = mid;
                }else{
                    r = mid - 1;
                }
            }
            printf("%d\n",l);
        }
    }
    return 0;
}

浮点数二分

原理

当我们的范围足够小的时候，我们就可以认为我们找到了答案

例如 r - l <= 10-6 ，我们认为他已经足够小，因为有整除，所以不需要处理边界问题

练习

790. 数的三次方根 - AcWing题库

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    double l = -100,r = 100;
    while(r-l>1e-8)
    {
        double mid = (l+r)/2;
        if(mid*mid*mid>=x)
        {
            r = mid;
        }else{
            l = mid;
        }
    }
    
    printf("%.6lf",l);
    return 0;
}