过河问题（贪心算法）

从数学角度来研究过河问题

一、问题描述

　　在漆黑的夜里，甲乙丙丁共四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题：如何设计一个方案，让这四人尽快过桥。

二、问题答案     

　　两人过桥后，需要把手电筒送回，最容易想到的是让最快的人担任来回送电筒。因此，第一种办法：先让甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要17分钟就可以让四个人都过去。

　　而正确答案是第二种办法：先让甲乙过去（2分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（2分钟），甲乙再过去（2分钟），总共需要15分钟就可以让四个人都过去。这种方法的关键点，让两个最慢的人同时过桥。

三、扩展 

　　把四人所需要的时间，改变一下分别，是1、4、5、8分钟。

　　第一种方法：先甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），甲丙过去（5分钟），甲回来（1分钟），甲丁再过去（8分钟），总共需要19分钟就可以让四个人都过去。

　　第二种方法：先让甲乙过去（4分钟），甲回来（1分钟），丙丁过去（8分钟），乙回来（4分钟），甲乙再过去（4分钟），总共需要21分钟就可以让四个人都过去。

　　这一次，两个最慢的人一起过去反而更慢了。

　　这两次方案的差异：次快的人要不要也传递一次手电筒。

　　假定四个人过河时间是T1,T2,T3,T4且T1＜T2＜T3＜T4，如何选择过桥方案。

　　第一种过河方法的总时间为：T2＋T1＋T3＋T1＋T4

　　第二种过河方法的总时间为：T2＋T1＋T4＋T2＋T2

　　二者之差为：（T1＋T3）-2T2。

　　结论：如果（T1＋T3）大于2T2，第二种方法优；如果（T1＋T3）小于2T2，第一种方法优；如果（T1＋T3）等于2T2，两种方法无差异。

四、问题推广

　　现在我们把这个问题推广：如果有N（N大于等于4）个旅行者，假设他们有各自所需的过桥时间有快有慢，各不相同。在只有一只手电筒的情况下，要过上述的一条桥，怎样才能找到最快的过桥方案？

　　现在我们假定，N个人单独过桥的时间分别是T1,T2,T3,……,Tn，且满足T1＜T2＜T3＜…… ＜Tn。

　　经过分析，要满足最快过桥，合理的安排包括以下几点：

　　1）让最快的送手电筒的次数尽可能多些。

　　2）某些方案中，次快的也送电筒也可能会电筒。

　　3）让慢的过桥次数尽可能少些；

　　4）最快的两个先过桥，以保证此二人是能来回送电筒的人；

　　借助上述结论，来逐步分析多人情形。

　　当N=5人时，第一次先T1、T2两人过桥，T1把电筒送回，没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5的4人情形。这个时候，需要比较T1＋T4与2T3的大小吗？

　　第一种方案，还是选择T1来回送电筒，过桥总时间：为T2＋T3＋T1＋T4＋T1＋T5

　　第二种方案，让慢的一起走，但因为送回电筒的不是T3，而是更快一点的T2,总过桥时间：T2＋T5＋T2＋T3＋T1＋T2。

　　两种方案两者之差为T1＋T4－2T2，这里与T3没有关系。

　　当N=6人时，第一次先T1、T2两人过桥，T1把电筒送回，没过桥的又变成了T1、T3、T4、T5、T6 的5人情形。按照刚才的分析，要比较T1＋T5－2T2的大小。

　　以此类推，两种方案的差异，只与最快的人、次快的人和次慢的人的单独过桥时间有关，而与其他人的快慢无关。