大学物理力学学习笔记

矢量与标量

矢量

• 表示方法：$\vec x,x$ 为任意物理量符号
• 运算：
  • 加减法：三角形法则/平行四边形法则
  • 乘法：
    • 点乘：$\vec a \cdot \vec b=||\vec a|| \cdot ||\vec b|| \cdot \cos<\vec a,\vec b>$
    • 叉乘：$\vec a \times \vec b$
      • 方向：右掌定则
      • 大小：$||\vec a \times \vec b||=||\vec a|| \cdot ||\vec b|| \cdot \sin<\vec a,\vec b>$
      • 逆：$\vec a \times \vec b \times \vec a=\vec b$
  • 求幂：默认是点乘的幂
  • 求导：${{\rm d}\vec y \over {\rm d}x}=\sum\limits_{i=1}^n {{\rm d}y_i \over {\rm d}x}\vec e_i$
  • 积分：$\int \vec y {\rm d}x=\sum\limits_{i=1}^n (\int y_i {\rm {\rm d}}x)\vec e_i$
• 特殊矢量：
  • 单位矢量：$\hat e$

标量

• 表示方法：$x(x$ 为任意物理量符号$)$（也可以表示对应矢量的模长）
• 标量与矢量的转换：
  • $\int \vec a \cdot {\rm d}\vec b=\int a{\rm d}b$

质点运动学

运动的描述

• 参考系：为描述物体的运动而选择的标准物
  • 选取要求：方便计算即可
  • 注意：参考系不一定是静止的
  • 分类：
    • 惯性系：相对已知惯性系 $\vec a=\vec 0$ 的参考系
      • 常见近似惯性系：
        • 太阳绕银河系中心公转：太阳（较好的惯性系）
        • 地球绕太阳公转：地球（近似的惯性系）
    • 非惯性系：相对已知惯性系 $\vec a=\vec a_0 \neq 0$ 的参考系
  • 参考系变换：
    • 惯性参考系之间的转换（参考系轴平行/参考系平动）：
      • 相对位移：$\vec r_S=\vec r_S'+\vec r_{O'O}$
      • 相对速度：${\vec v}_S={\vec v}_{S'}+{\vec v}_{S'-S}$（伽利略速度变换式）
      • 相对加速度：$\vec a_S=\vec a_S'$
      • 相对角速度：$\vec \omega_S=\vec \omega_{S'}$
      • 要求：绝对时空观（伽利略时空观）：
        1. 长度的测量不依赖于参考系
        2. 时间的测量不依赖于参考系
    • 非惯性参考系与惯性参考系之间的转换：
      • 惯性力：一种假想力 $\vec F_{\rm i}=-m\vec a_0$
      • 惯性离心力：向心加速度对应的惯性力
      • 非惯性系 $\Leftrightarrow$ 在原有受力的基础上多受一个惯性力的惯性系
• 质点：只有质量，没有大小的理想模型（要求研究对象相对于研究的整个系统足够小或）
  • 质点系：质点的集合（质点的分布可以是离散的，也可以是连续的）（地球也是质点系）
    • 刚体：任意两个质点之间的距离恒定不变的质点系
• 坐标系：
  • 直角坐标系 $O-xyz$（标准坐标系）
    • 单位矢量：$\hat i,\hat j,\hat k$（均为恒矢量）
    • 构建方法：右掌定则
      • x: 大拇指方向
      • y: 四指方向
      • z: 掌心方向
    • 变量表示：
      • 质点轨迹方程：$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$
      • 位矢：$\vec r=x\hat i+y\hat j+z\hat k$
        • 质点的运动方程：${\vec r}(t)=x(t){\hat i}+y(t){\hat j}+z(t){\hat k}$
      • 位移：$\Delta \vec r=(x_B-x_A)\hat i+(y_B-y_A)\hat j+(z_B-z_A)\hat k$
      • 速度：$\vec v={{\rm d}x \over {\rm d}t}\hat i+{{\rm d}y \over {\rm d}t}\hat j+{{\rm d}z \over {\rm d}t}\hat k=v_x\hat i+v_y\hat j+v_z\hat k$
      • 加速度：$\vec a={{\rm d}v_x \over {\rm d}t}\hat i+{{\rm d}v_y \over {\rm d}t}\hat j+{{\rm d}v_z \over {\rm d}t}\hat k$
  • 自然坐标系：以切向单位矢量和法向单位矢量建立的二维坐标系（主要用于曲线运动）
    • 单位矢量：$\hat \tau,\hat n$（均非恒矢量）
      • 关系: ${\rm d}\vec \theta ={\rm d}\vec \tau \times \hat n$
    • 变量表示：
      • 速度：$\vec v=v\hat \tau$
      • 角速度：$\vec \omega=\omega(\hat n \times \hat \tau)$
      • 加速度：$\vec a=\vec a_{\tau}+\vec a_n={{\rm d}v \over {\rm d}t}\hat \tau+{v^2 \over \rho}\hat n$

质点的运动

• 位矢（位置矢量）：${\vec r}$
• 位移（位移矢量）：$\vec x=\Delta{\vec r}=\vec r_{AB}={\vec r}_B-{\vec r}_A=(x_B-x_A){\hat i}+(y_B-y_A){\hat j}+(z_B-z_A){\hat k}$
• 路程：$s=\int_{t_1}^{t_2}||{{\rm d} \vec r \over {\rm d}t}||{\rm d}t$
  • $|\vec x|=s \Rightarrow$ 直线运动或 $\Delta t \rightarrow 0$
• 速率：$v_s=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} {s \over \Delta t}={{\rm d}s \over {\rm d}t}$
  • 平均速率：$\bar{v_s}={s \over \Delta t}$
• 速度（瞬时速度）：${\vec v}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\vec x \over \Delta t}={{\rm d}{\vec r} \over {\rm d}t}=v_x{\hat i}+v_y{\hat j}+v_z{\hat k}$
  • 方向：曲线的切线方向
  • 平均速度：$\bar{\vec v}={\Delta{\vec r} \over \Delta t}$
• 加速度（瞬时加速度）：${\vec a}=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}{\Delta{\vec v} \over \Delta t}={{\rm d}{\vec v} \over {\rm d}t}={{\rm d}^2 \vec r \over {\rm d}t^2}$
  • 平均加速度：$\bar{\vec a}={\Delta{\vec v} \over \Delta t}$

质点的曲线运动

• 曲率半径：$\rho=$ 运动路径内切圆半径
• 角速度：$\vec{\omega}={{\rm d}\vec{\theta} \over {\rm d}t}$(角速度方向是垂直运动平面的)（运动平面已知通常使用标量）
  • 圆周运动：$\vec \omega={\hat n \times \vec v \over r}$
  • 一般曲线运动：$\vec \omega={\hat n \times \vec v \over \rho}$
• 角加速度：$\vec \alpha={{\rm d}\vec \omega \over {\rm d}t}={{\rm d}^2 \vec \theta \over {\rm d}t^2}$
• 加速度：${\vec a}={\vec a}_{\tau}+{\vec a}_n$
  • 切向加速度：${\vec a}_{\tau}={{\rm d}{\vec v} \over {\rm d}t}=\vec \alpha \times \vec r$
  • 法向加速度：${\vec a}_n=\vec \omega \times {\vec v}_{\tau}=\omega^2\vec r=\frac{v^2}r\hat n$
• 动量：$\vec p=m\vec v$

牛顿力学

牛顿运动定律

• 牛顿第一定律：任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外界作用于它，迫使它改变运动状态
  • 公式：${\vec F}=0$ 时，${\vec v}=$ 常矢量
• 牛顿第二定律：动量为 ${\vec p}$ 的物体，在合力 ${\vec F}(=\sum{\vec F}_i)$ 的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用于物体的合力
  • 公式：${\vec F}={{\rm d}{\vec p} \over {\rm d}t}={{\rm d}(m{\vec v}) \over {\rm d}t}$（要求在惯性参考系中）
    • 推广：$\vec F=m\vec a$（要求：宏观低速(高速时 ${{\rm d}m \over {\rm d}t} \neq 0$)）
  • 牛顿第二定律只适用于质点的运动
  • 牛顿第二定律所表示的合力与加速度之间的关系是瞬时对应的关系(力是物体产生加速度的原因)
  • 力的叠加原理：当几个力同时作用于物体时，其合力 ${\vec F}$ 所产生的加速度 ${\vec a}$，与每个力 ${\vec F}_i$ 所产生的加速度 ${\vec a}_i$ 的矢量和相同
  • 扩展：曲线运动中的力：
    • 切向力: $\vec F_\tau=m\vec a_\tau$
    • 法向力：$\vec F_n=m\vec a_n$
• 牛顿第三定律：两个物体之间的作用力 $\vec F$ 和反作用力 ${\vec F}'$，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上
  • 公式：${\vec F}=-{\vec F}'$
  • 推广：作用力与反作用力同时产生，同时消失（仅适用于部分物体，其他如通过场传递的力不符合）
• 力学相对性原理/伽利略相对性原理：对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动

常见的力

• 物理学两大基本作用（自然界中的四种基本自然力总结而来）：
  • 万有引力：在所有物体与物体之间都存在的一种相互吸引的力
    • 万有引力定律：在两个相距为 ${\rm d}$，质量分别为 $m_1,m_2$ 的质点间有万有引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们的质量成绩成正比，与它们之间距离的二次方成反比
    • 公式：${\vec F}=G{m_1m_2 \over {\rm d}^2}\hat e_r,G$ 为引力常量
    • 特殊：重力：$\vec G$
      • 重力加速度：${\vec g}=\frac{\vec G}m$
        • 地球外：$\vec g={GM \over {\rm d}^2}\hat e_r$
        • 地球表面：$\vec g={GM \over R_E^2}\hat e_r$
  • 电磁相互作用
    • 弱相互作用
    • 强相互作用
  • 自然力超统一理论：我们生活在平直时空之中。在弯曲时空中，万有引力便不再存在。万有引力是弯曲时空的表现
• 弹性力：
  • 弹簧被拉伸或压缩时产生的力
  • 绳索被拉紧时产生的张力
  • 重物放在支承面上产生作用在支承面上的郑雅丽和作用在物体上的支持力
• 摩擦力
  • 静摩擦力：两个相互接触的物体间有相对滑动的趋势但尚未相对滑动时，在接触面上产生的阻碍相对滑动的力
  • 最大静摩擦力：两个相互接触的物体间即将相对滑动时，在接触面上产生的阻碍相对滑动的力
    • $\vec F_{f0m}=\mu_0 F_N$
  • 滑动摩擦力：两个相互接触的物体相对滑动时，在接触面上产生的阻碍相对滑动的力
    • $\vec F_f=\mu F_N$
    • 在相对速度不太大时，$\mu$ 略小于 $\mu_0$

应用

• 隔离体法
• 解答要求：文字说明+受力分析+矢量式+分量式+解（简单的情况下矢量式可以不写）
• 绳中的拉力不是处处相等的（以匀速圆周运动的轻绳为例）：
  $$\begin{cases} {\rm d}T={\rm d}m \cdot \omega^2r\\ {\rm d}m=\frac ml{\rm d}r \end{cases} \Rightarrow {{\rm d}T \over {\rm d}r}=\frac ml\omega^2r \Rightarrow T=m\omega^2r \cdot{r \over 2l}$$

基本守恒定律

动量守恒定律（均要求在惯性参考系中）

• 质点：
  • 冲量：$\vec I=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t) {\rm d}t$
  • 质点的动量定理：$\int_{t_1}^{t_2}\vec F(t){\rm d}t=\vec p_2-\vec p_1=m_2\vec v_2-m_1\vec v_1$
• 质点系：
  • 外力 $\vec F^{\rm ex}$：外界对系统内质点作用的力
  • 内力 $\vec F^{\rm in}$：系统内质点间相互作用的力
    • 性质：$\vec F^{\rm in}=\sum\limits_{i=1}^n F^{\rm in}_i=\vec 0$
  • 质点系的牛顿第二定律：$\vec F^{\rm ex}={{\rm d}\vec p \over {\rm d}t}$
  • 质点系的动量定理：$\int_{t_1}^{t_2}\vec F^{\rm ex}(t){\rm d}t=\vec p_2-\vec p_1$
  • 动量守恒定律：当 $\vec F^{\rm ex}=0$ 时，$\vec p=\sum\limits_{i=1}^n m_i\vec v_i$ 为常矢量
    • 近似：当 $||\vec F^{\rm ex}|| \ll ||\vec F^{\rm in}||$ 时，可近似认为动量守恒定律成立
• 特征：
  • 动量的相对性：改变惯性参考系，动量改变
  • 动量定理的不变性：改变惯性参考系，动量定理依旧成立
• 应用：
  • 爆炸问题
  • 火箭发射问题（注：此时 $m$ 随 $t$ 的变化而变化 ，不是常量）
• 求解方法

动能守恒定律

• 功：力在位移方向的分量与该位移大小的乘积
  • 单位：$\sf J$
  • 元功：${\rm d}W=\vec F \cdot {\rm d}\vec r$
  • 变力做功：$W=\int {\rm d}W=\int_A^B \vec F \cdot {\rm d}\vec r=\int_A^B \vec F\cos\theta{\rm d}s$
    • 在直角坐标系下：$W=\int_A^B(F_x{\rm d}x+F_y{\rm d}y+F_z{\rm d}z)$
  • 合力做功：$W=\sum\limits_{i=1}^n W_i$
• 功率：功随时间的变化率
  • 单位：$\sf W$
  • 公式：$P={{\rm d}W \over dt}=\vec F \cdot {{\rm d}\vec r \over {\rm d}t}=\vec F \cdot \vec v$
• 动能：与质点运动状态有关的一种物理量
  • 公式表示：$E_k=\frac12 mv^2$
• 质点的动能定理：合力对质点所做的共等于质点动能的增量
  • 公式表示：$W=E_{k2}-E_{k1}$
• 质点系的动能定理：作用于质点系上的力做的功，等于该质点系的动量增量
  • 公式表示：$\sum\limits_{i=1}^n W_i=\sum\limits_{i=1}^n E_{k2}-\sum\limits_{i=1}^n E_{k1}$

机械能守恒定律

• 保守力：做功大小只与始末位置有关，与路径无关的力
  • 特征：质点沿任一路径运动一周时，保守力对它做功为零
    • 公式表示：$W=\oint \vec F \cdot {\rm d}\vec r=0$
• 非保守力：做功大小与路径有关的力
  • 例：$f,\vec F_A$
• 势能：与质点位置有关的物理量
  • 引力势能：$E_{pg}=-G{m_1m_2 \over r}$
  • 弹性势能：$E_{pk}=\frac12 kx^2$
• 势能曲线：按势能函数画出的势能随坐标变化而变化的曲线
• 质点系的功能原理：质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力做功之和
  • 公式表示：$W^{\rm ex}+W^{\rm in}_{nc}=E_2-E_1$
• 机械能守恒定律：当作用于质点系的外力和非保守内力均不做工，此时质点系内的动能和势能可以相互转化，但质点系的总机械能是守恒的
  • 公式表示：$E_1=E_2$
• 碰撞：
  • 完全弹性碰撞：碰撞前后，两物体的动能之和完全没有损失
  • 非弹性碰撞：在两物体碰撞时，两物体的机械能发生了转化
  • 完全非弹性碰撞：两物体在非弹性碰撞后以统一速度运动

能量守恒定律

• 能量守恒定律：对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种形式得能量是可以相互转化的，但是不论如何转化，能量既不能产生，也不能消灭（与质点状态相关的定律）
• 质心：
  • 位置：$\vec r_{c}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n m_i\vec r_i}m$
    • 质量连续且均匀的物体： $\vec r_{c}=\int \vec r\ {\rm d}m=\iiint_V \rho\vec r\ {\rm d}V$
• 质心运动定理：系统内各质点的动量的矢量和等于系统质心的速度乘以系统的质量
  • 公式表示：
    • $m\vec v_{c}=\sum\limits_{i=1}^n \vec p_i$
    • $F^{\rm ex}=\sum\limits_{i=1}^n {{\rm d}\vec p_i \over {\rm d}t}=m\vec a_{c}$ (常用)
  • 延伸：
    • $m\vec x_c=\sum\limits_{i=1}^n m_i\vec x_i$
• 对称性：
  • 变换：系统从一个状态变化到另一个状态的过程
  • 对称性：如果可以通过操作把系统从一个状态变化到另一个与之等价的状态，则称系统对于这个操作是对称的
  • 常见对称性时空操作：空间的平移、空间的旋转、时间的平移
    • 对应关系：空间平移不变性-动量守恒定律，空间旋转不变性-角动量守恒定律，时间平移不变性-能量守恒定律
      （每一个对称性都对应一个守恒量）

刚体转动

前置概念

• 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线的运动
• 转动：刚体中所有的点都绕某一直线作圆周运动的运动
  • 转轴：刚体转动时所围绕的直线
    • 瞬时转轴：位置或方向随时间改变的转轴
    • 固定转轴：位置或方向是固定不动而不随时间改变的转轴
• 一般刚体运动的分解：平动与转动的组合

刚体的定轴转动

• 定义：转轴为固定转轴的转动（一般定义固定转轴为 $Oz$ 轴，固定转轴与旋转平面交点为 $O$ 进行运算）
  • 角位移：$\vec \theta=<\vec r_1,\vec r_2>$
  • 角速度：$\vec \omega={{\rm d}\vec \theta \over {\rm d}t}$
  • 角加速度：$\vec \alpha=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} {\Delta \vec \omega \over \Delta t}={{\rm d}\vec\omega \over {\rm d}t}$
• 角量与线量的关系：
  • $\vec \omega=\vec r \times \vec v$
  • $\vec a_t=\vec r \times \vec \alpha$
  • $\vec a_n={\vec\omega}^2\vec r=\omega^2\vec r$
• 力臂：从点 $O$ 到力 $\vec F$ 的作用线的垂直距离
  • 公式：$d=r\sin\theta$
• 力矩：$\vec M=\vec r \times \vec F$
  • 合力矩：$\vec M=\sum\limits_{i=1}^n \vec r_i \times \vec F_i$
• 转动惯量：$J=\sum\limits_i \Delta m_ir_i^2$
  • 影响因素（对于刚体）：
    • 刚体自身的性质
    • 刚体的转轴
  • 其他理解：保持原有状态的惯性大小
    • $J$ 越小，$\vec \alpha$ 越大，保持原有状态的惯性越小
    • $J$ 越大，$\vec \alpha$ 越小，保持原有状态的惯性越大
  • 质点连续分布的刚体：$J=\int r^2 {\rm d}m=\iiint_V \rho r^2 {\rm d}V$
    • 常见刚体转动惯量：（要求几何形状简单，质量连续且均匀分布）
      • 细棒（转动轴通过中心与棒垂直）：$J={ml^2 \over 12}$
      • 细棒（转动轴通过棒的一端与棒垂直）：$J=\frac{ml^2}3$
      • 圆筒（转动轴沿几何轴）：$J=\frac2m(R_1^2+R_2^2)$
        • 圆柱体（转动轴沿几何轴）：$J=\frac{mR^2}2$
        • 薄圆环（转动轴沿几何轴）：$J=mR^2$
      • 球体（转动轴沿球的任一直径）：$J=\frac{2mR^2}5$
  • 平行轴定理：$J=J_C+md^2$
    • $d$：两平行轴间距离
    • $J_C$：重心转动惯量
• 转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
  • 公式表示：$\vec \alpha=\frac{\vec M}J$
• 质点的角动量：$\vec L=\vec r \times \vec p=\vec r \times m\vec v$
• 质点的旋转牛顿第二定律：$\vec M=\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\vec r \times m\vec v)={{\rm d}\vec L \over {\rm d}t}$
• 质点的冲量矩：$\int_{t_1}^{t_2}\vec M{\rm d}t$
• 质点的角动量定理：$\int\vec M{\rm d}t=\vec L_2-\vec L_1$
• 质点的角动量守恒定理：当 $\vec M=0$ 时，$\vec L=\vec r \times m\vec v=$ 常矢量
  • 可能情况：
    1. $\vec F=\vec 0$
    2. $\vec F$ 过点 $O \Rightarrow$ 有心力对力心的力矩总是 $\vec 0$ $\Rightarrow$ 在有心力作用下的角动量都是守恒的
       • 有心力：质点在运动过程中所受的总是指向某一给定点的力
         • 力心：有心力指向的定点
• 刚体定轴转动的的角动量：$\vec L=J\vec \omega$
• 刚体定轴转动的的旋转牛顿第二定律：$\vec M={{\rm d}\vec L \over {\rm d}t}={{\rm d} \over {\rm d}t}(J\vec \omega)$
• 力矩对给定轴的冲量矩：$\int_{t_1}^{t_2} \vec M{\rm d}t$
• 刚体定轴转动的的角动量定理：$\int_{t_1}^{t_2}\vec M{\rm d}t=J_2\vec\omega_2-J_1\vec\omega_1$
• 刚体定轴转动的角动量守恒定理：当 $\vec M=0$ 时，$J\vec\omega=$ 常矢量
• 力矩做功：
  • 元功：${\rm d}W=\vec M \cdot {\rm d}\vec\theta$
  • 力矩不变时：转动角度 $\theta$ 时力矩做的功为 $W\int_0^\theta {\rm d}W=\vec M \times \vec \theta$
  • 力矩变化时：$W=\int \vec M \cdot {\rm d}\theta$
• 力矩的功率：$P={{\rm d}W \over {\rm d}t}=\vec M \times \vec \omega$
• 转动动能：$E_k=\frac12 J\omega^2$
• 刚体绕定轴转动的动能定理：$W=\frac12 J\omega_2^2-\frac12 J\omega_1^2$
• 刚体的平面平行运动：刚体上各质点都在平行于一固定参考平面的平面内运动的运动
  • 例：纯滚动（无滑动滚动）
    • 小技巧：在纯滚动情况下，用能量方法要简便很多
• 刚体的进动：当陀螺顶端朝向水平方向且以较大的角速度绕自转轴转动时，陀螺不会倒下，而且还能绕竖直轴转动，陀螺的这种运动称为刚体的进动
  • 进动角速度：$\Omega={mgr \over J\omega}$

流体力学

理想流体

• 理想流体：不可压缩且没有黏性的流体
• 稳流：稳定流动
• 流线：人为画上的用于描述流体运动的曲线
  • 特征：
    • 线上各点的切线都和液体委员在该点的速度方向一致
    • 液体流速较大的地方，流线比较密；液体流速较小的地方，流线比较疏
    • 流线与液体微元的运动轨迹一致
    • 流线两两不相交
• 流管：在稳流流体中，以一组连续分布的流线为边界，形成的管状结构
• 流体连续性方程：
  • 应用条件：不可压缩的流体
  • 公式：流体稳流 $\Rightarrow v\Delta S=$ 常量
• 伯努利方程（流体力学中的功能定理）：$\frac{\rho v_1^2}2+\rho gh_1+p_1=\frac{\rho v_2^2}2+\rho gh_2+p_2$
  • 特殊：$h_1=h_2$（流管水平）：$\frac{\rho v_1^2}2+p_1=\frac{\rho v_2^2}2+p_2$
    • 推论：流速大的地方压强小，流速小的地方压强大
  • 应用：喷雾器、小孔流速

经典力学的局限性

• 经典力学只适用于处理物体的低速运动问题，而不能用于处理高速运动物体
• 经典力学难以研究混沌的研究对象
  • 混沌：确定性运动具有的不确定性的现象
• 经典力学只适用于处理宏观物体的运动问题，而不能用于处理微观物体的运动问题

附表

物理量-国际单位-量纲

常见物理常量

• 引力常量：$G=6.67 \times 10^{-11}\ {\sf N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}}$

相关规定

$\Delta$：一种运算符，表示末态减初态
$<\vec a,\vec b>$：表示 $\vec a$ 为始边，$\vec b$ 为终边的取值范围在 $[-\pi,\pi]$ 之间的角