Calculus 学习总结

定义

符号定义

• 自变量：$x$
• 因变量：$u,v,y$
• 法则：$f,g,h,F,G,H$
• 导数：$f'$
• 微分：$df,dy$
• 偏导：$f_x$
• 偏微分：$\partial f$

优先级定义

• $**>*=/>+=->(>>)=(<<)$
• $*>\log>+$

变量计算法则：（问号表示无法计算）

• 加法：
  • $0+0=0,\infty+\infty=\infty,C+C=2C$
  • $0+\infty=\infty,0+0=0$
  • $0+C=C+0=C$
  • $\infty+C=C+\infty=\infty$
• 减法：
  • $0-0=0,C-C=0,\infty-\infty=?$
  • $0-\infty=\infty-0=\infty$
  • $C-0=C,0-C=-C$
  • $C-\infty=\infty-C=\infty$
• 乘法：
  • $0*0=0,\infty*\infty=\infty,C*C=C^2$
  • $0*\infty=\infty*0=?$
  • $0*C=C*0=0$
  • $\infty*C=C*\infty=\infty$
• 除法：
  • $\frac 00=\frac \infty\infty=?,\frac CC=1$
  • $\frac 0\infty=0,\frac\infty 0=\infty$
  • $\frac C\infty=0,\frac \infty C=\infty$
  • $\frac C0=\infty,\frac 0C=0$

法则运算法则

• $(f \pm g)|_x=(f \pm g)(x)=f(x)+g(x)$
• $(f * g)|_x=(f*g)(x)=f(x)*g(x)$
• $\frac fg|_x=(\frac fg)(x)={f(x) \over g(x)}$
• $(f \circ g)|_x=(f \circ g)(x)=f(g(x))$

三角函数基础公式（归一化）

• $\cot x=\frac 1{\tan x},\sec x=\frac 1{\cos x},\csc x=\frac 1{\sin x}$
• ${\rm acot}x={\rm atan}\frac 1x,{\rm asec}x={\rm acos}\frac 1x,{\rm acsc}x={\rm asin}\frac 1x$

三角函数嵌套转化

• $\sin{\rm asin}x=x$

• $\cos{\rm asin}x=\sqrt{1-x^2}$

• $\tan{\rm asin}x=\frac x{\sqrt{1-x^2}}$

• $\sin{\rm acos}x=\sqrt{1-x^2}$

• $\cos{\rm acos}x=x$

• $\tan{\rm acos}x=\frac{\sqrt{1-x^2}}x$

• $\sin{\rm atan}x=\frac x{\sqrt{1+x^2}}$

• $\cos{\rm atan}x=\frac 1{\sqrt{1+x^2}}$

• $\tan{\rm atan}x=x$

其他约定

• 0是有限的

应用

极限计算

• 基础计算法则（要求：分裂后各部分极限存在或分裂后合并时得到的答案可合并）
  • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) \pm g(x))=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \pm \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)$
  • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)$
  • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}={\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \over \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)}$
  • 极限存在准则：（用于将变量常量化）
    • 夹逼定理：$u(x) \leq f(x) \leq v(x) \lim\limits_{x \rightarrow x_0} u(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0} v(x)=C \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)=C$
    • 极限存在准则 II:
      • $f(x)$ 单调递增且存在上界 $M \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \leq M$
      • $f(x)$ 单调递减且存在下界 $m \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) \geq m$
      • $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调有界 $\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \rightarrow b^-}f(x)$ 存在
  • 重要极限：
    • $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}x=1$
    • $\lim\limits_{x \rightarrow 0}(1+x)^\frac 1x=e$
• 导数代换
  • 格式：$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{f(x,y)}x$
  • 方法：将 $f(x,y)$ 转化为 $g(y+x)-g(y)$ 的形式，将目标式转化为 $g'(y)$
• 等价无穷小
  • 条件：已知 $f(x) \sim g(x),(x \rightarrow x_0)$
  • 公式：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0} g(x)$
  • 常用等价无穷小：$(x \rightarrow 0)$（仅一元函数可用）
    • $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1$
    • $(1+x)^\frac 1n \sim 1+\frac 1nx$
    • $1-\cos x \sim \frac{x^2}2$
  • 多元函数使用应注意问题：
    • 必须换元
    • 换元时不能外扩（$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac xyf(xy) \neq \lim\limits_{xy \rightarrow 0} \frac xyf(xy)$）
• 函数展开
  • 条件：
    • 在点展开：$f(x)$ 在 $x_0$ 点存在直到 $n$ 阶导数
    • 在区间展开：$\forall x \in I,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}R_n(x)=0$ （本质上就是 $I$ 在对应幂函数的收敛域内）
      • 收敛域计算：$R=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {a_n \over a_{n+1}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {f^{(n)}(0)(n+1) \over f^{(n+1)}(0)}$，边界特判
    • 循环展开：函数满足狄利克雷条件
      1. 在区间内（一个周期内）只有有限个第一类间断点
      2. 在区间内（一个周期内）至多有有限个极值点
  • 公式：
    • 在点展开：泰勒展开/麦克劳林展开
      • 泰勒展开：$T_{n,x_0}(x)=\sum\limits_{i=0}^n {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i$
      • 麦克劳林展开：$M_n(x)=T_{n,0}(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}$
      • 余项：$R_{n,x_0}(x)=f(x)-T_{n,x_0}(x)$
        • 佩亚诺型余项：
          • 泰勒展开：$R_{n,x_0}(x)=\omicron ((x-x_0)^n)$
          • 麦克劳林展开：$R_n(x)=\omicron (x^n)$
        • 拉格朗日余项：（$\xi$ 在 $x$ 与 $x_0$ 之间）
          • 泰勒展开：$R_{n,x_0}(x)={f^{(n+1)}(\xi+x_0) \over (n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
          • 麦克劳林展开：$R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}x^{n+1}$
      • 无穷展开：
        • 泰勒：$T_{x_0}(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i$
        • 麦克劳林展开：$M(x)=T_0(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0) \over i!}x^i$
    • 在区间展开：麦克劳林展开（边界注意特殊讨论）
      • 直接展开：$f(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}, x \in (-R,R)$
      • 间接展开（换元/求导/积分成已知函数展开）：
        • $e^x=\sum\limits_{i=0}^\infty{x^i \over i!},x \in {\mathbb R}$
        • $(1+x)^\alpha=\sum\limits_{i=0}^\infty {\alpha^{\underline i} \over i!}x^i,x \in {\mathbb (-1,1)}$
          • $\frac1{1-x}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i,x \in (-1,1)$
        • $\ln(1+x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over i+1}x^{i+1},x \in (-1,1]$
        • $\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i+1} \over (4i+1)!}-{x^{4i+3} \over (4i+3)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over (2i+1)!}x^{2i+1},x \in {\mathbb R}$
        • $\cos x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i} \over (4i)!}-{x^{4i+2} \over (4i+2)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty{(-1)^i \over (2i)!}x^{2i},x \in {\mathbb R}$
    • 循环展开：傅里叶级数展开 $f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^n (a_n\cos\frac{n\pi}lx+b_n\sin\frac{n\pi}lx),(x \neq (2k+1)l,k \in \mathbb Z)$（边界注意特殊讨论）
      • 参数计算：
        • $a_0=\frac 1l\int_{-l}^l f(x){\rm d}x$
        • $a_n=\frac 1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi}lx{\rm d}x$
        • $b_n=\frac 1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi}lx{\rm d}x$
      • 特殊展开：
        • 沿对称轴对称后展开（偶函数展开）：余弦级数展开 $f(x)=\sum\limits_{i=1}^n b_n\sin\frac{n\pi}lx,(x \neq kl,k \in \mathbb Z)$
        • 沿原点对称后展开（奇函数展开）：正弦级数展开 $f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^n a_n\cos\frac{n\pi}lx,(x \neq kl,k \in \mathbb Z)$
• 洛必达法则
  • 条件：
    • $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=0$（即 $\frac 00$ 的情况）
    • $f(x),g(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导/可微
  • 公式：
    • 导数形式：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f'(x) \over g'(x)}$
    • 微分形式：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{{\rm d}f \over {\rm d}g}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{{{\rm d}f \over {\rm d}x} \over {{\rm d}g \over {\rm d}x}}$
  • 其他无法计算情况的转化：
    • $0*\infty=\infty*0=\frac 0{\frac 1\infty}=\frac 00$
    • $\frac\infty\infty=\frac{\frac 1\infty}{\frac 1\infty}=\frac 00$

偏微分计算

• 可偏微分判定：在对应截面上的函数曲线连续
• 定义：$f_{x_k}(\vec x)=\lim\limits_{\Delta x_k \rightarrow 0}{f(\vec x+([k=i]\Delta x_i)_n)-f(\vec x)\over \Delta x_i}$
• 本质：把 $x_k$ 当成自变量，其他量为参数的一元函数求导

微分计算

• 可微判定：
  • 一元函数：$f(x)$ 连续
  • 多元函数：$f(\vec x)$ 连续且存在各维一阶连续偏导数
• 定义：
  • 一元函数：${\rm d}y=f'(x){\rm d}x$
  • 多元函数：${\rm d}y=\sum\limits_{i=1}^n {\partial y \over \partial x_i}{\rm d}x_i$
• 微分表
  • 一阶微分表：
    • $(C)'=0$
    • $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$
    • $(a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]$
    • $(\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]$
    • $(\sin x)'=\cos x$
    • $(\cos x)'=-\sin x$
    • $(\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}$
    • $(\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}$
    • $(\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}$
    • $(\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}$
    • $({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}$
    • $({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}$
    • $({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}$
    • $({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}$
    • $({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
    • $({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
    • $({\rm sinh}\ x)'={\rm cosh}\ x$
    • $({\rm cosh}\ x)'={\rm sinh}\ x$
    • $({\rm tanh}\ x)'=\frac1{{\rm cosh}^2x}={\rm sech}^2x$
    • $({\rm coth}\ x)'=-\frac1{{\rm sinh}^2x}=-{\rm csch}^2x$
    • $({\rm sech}\ x)'=-{\rm sech}\ x\ {\rm tanh}\ x=-{{\rm sinh}\ x \over {\rm cosh}^2x}$
    • $({\rm csch}\ x)'=-{\rm csch}\ x\ {\rm coth}\ x=-{{\rm cosh}\ x \over {\rm sinh}^2x}$
    • $({\rm asinh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}$
    • $({\rm acosh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}$
    • $({\rm atanh}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
    • $({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
    • $({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}$
    • $({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}$
  • 高阶微分表：
    • $(x^n)^{(n)}=n!$
    • $(a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x$
    • $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2)$
    • $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)$
  • 微分关系表：
    • $({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0$
    • $({\rm atanh}\ x)'=({\rm acoth}\ x)'$
• 运算法则
  • ${\rm d}(u \pm v)={\rm d}u \pm {\rm d}v$
    • ${\rm d}(Cu)=C{\rm d}u$
    • ${{\rm d}(u \pm v) \over {\rm d}x}={{\rm d}u \over {\rm d}x} \pm {{\rm d}v \over {\rm d}x}$
  • ${\rm d}(uv)=u{\rm d}v+v{\rm d}u$
    • ${{\rm d}(uv) \over {\rm d}x}=u{{\rm d}v \over {\rm d}x}+v{{\rm d}u \over {\rm d}x}$
  • ${{\rm d}u \over {\rm d}x}={{\rm d}u \over {\rm d}v}{{\rm d}v \over {\rm d}x}$
  • 高阶微分：
    • ${\rm d}^n(u \pm v)={\rm d}^nu \pm {\rm d}^nv$
      • ${\rm d}^n(Cu)=C{\rm d}^nu$
      • ${{\rm d}^n(u \pm v) \over {\rm d}x^n}={{\rm d}^nu \over {\rm d}x^n} \pm {{\rm d}^nv \over {\rm d}x^n}$
    • ${\rm d}^n(uv)=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni {\rm d}^{n-i}u {\rm d}^iv$
      • ${{\rm d}^n(uv) \over {\rm d}x^n}=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni {{\rm d}^{n-i}u \over {\rm d}x^{n-i}} {{\rm d}^iv \over {\rm d}x^i}$

导数/梯度计算

• 可导判定：

• 一元函数：
• 多元函数：
  • 偏导数：
  • 方向导数：
  • 梯度（全导数）：
• 导数表
  • 一阶导数表：
    • $(C)'=0$
    • $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$
    • $(a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]$
    • $(\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]$
    • $(\sin x)'=\cos x$
    • $(\cos x)'=-\sin x$
    • $(\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}$
    • $(\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}$
    • $(\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}$
    • $(\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}$
    • $({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}$
    • $({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}$
    • $({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}$
    • $({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}$
    • $({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
    • $({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
    • $({\rm sinh}\ x)'={\rm cosh}\ x$
    • $({\rm cosh}\ x)'={\rm sinh}\ x$
    • $({\rm tanh}\ x)'=\frac1{{\rm cosh}^2x}={\rm sech}^2x$
    • $({\rm coth}\ x)'=-\frac1{{\rm sinh}^2x}=-{\rm csch}^2x$
    • $({\rm sech}\ x)'=-{\rm sech}\ x\ {\rm tanh}\ x=-{{\rm sinh}\ x \over {\rm cosh}^2x}$
    • $({\rm csch}\ x)'=-{\rm csch}\ x\ {\rm coth}\ x=-{{\rm cosh}\ x \over {\rm sinh}^2x}$
    • $({\rm asinh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}$
    • $({\rm acosh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}$
    • $({\rm atanh}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
    • $({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
    • $({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}$
    • $({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}$
  • 高阶导数表：
    • $(x^n)^{(n)}=n!$
    • $(a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x$
    • $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2)$
    • $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)$
  • 导数关系表：
    • $({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0$
    • $({\rm atanh}\ x)'=({\rm acoth}\ x)'$
• 运算法则
  • $[f(x) \pm g(x)]'=f'(x) \pm g'(x)$
  • $[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
    • $[Cf(x)]'=Cf'(x)$
    • $[{f(x) \over g(x)}]'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\over g^2(x)}$
      • $[\frac 1{g(x)}]'=-{g'(x) \over g^2(x)}$
  • $(f^{-1})'(x)=\frac 1{(f' \circ f^{-1})(x)}$
  • $(f \circ g)'(x)=(f' \circ g)(x)g'(x)$
  • 高阶导数：
    • $[f(x) \pm g(x)]^{(n)}=f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)$
      • $[Cf(x)]^{(n)}=Cf^{(n)}(x)$
    • $[f(x)g(x)]^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^n \binom ni f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$
  • 反函数求导法则：$(f^{-1})'(y)=\frac 1{f'(x)}$
  • 隐函数求导法则：
    • 一个因变量：$f'(x_i)={F_{x_i}(\vec x,y) \over F_y(\vec x,y)}$
    • 多个因变量：
    $$\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\G(x,y,u,v)=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {\partial u \over \partial x}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (x,v)} \\ {\partial v \over \partial x}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (u,x)} \\ {\partial u \over \partial y}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (y,v)} \\ {\partial v \over \partial y}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (u,y)} \end{cases}\left(J={\partial(F,G) \over \partial(u,v)}=\left|\begin{matrix}F_u & F_v\\G_u & G_v\end{matrix}\right|\right)$$

  • 与微分的关系：
    • 一元函数：导数是微分的商
    • 多元函数：微分是各维偏导数和对应维度微分乘积的和

积分计算

• 基础定义：
  • 不定积分：$\int f(x){\rm d}x=F(x)$
  • 定积分：$\int_a^b f(x){\rm d}x=\lim\limits_{x \rightarrow b^-}F(x)-\lim\limits_{x \rightarrow a^+}F(x)$
  • 二重积分：$\int{\rm d}x\int f(x,y){\rm d}y$
  • 三重积分
  • 曲线积分：$\int_l f(x,y,z){\rm d}l$
  • 曲面积分
• 不定积分表
  1. 逆微分表
  • $\int k{\rm d}x=kx+C$
  • $\int x^{\alpha }{\rm d}x=\frac1{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C$
  • $\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C$
  • $\int \frac1x {\rm d}x=ln|x|+C$
  • $\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C$
  • $\int \sin x {\rm d}x=-\cos x+C$
  • $\int \sec^2x {\rm d}x=\int \cos^{-2}x {\rm d}x=\tan x+C$
  • $\int \csc^2x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x {\rm d}x=-\cot x+C$
  • $\int \sec x\tan x {\rm d}x=\int \sin x\cos^{-2}x {\rm d}x=\cos^{-1}x+C=\sec x+C$
  • $\int \csc x\cot x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x \cos x {\rm d}x=-\sin^{-1}x+C=-\csc x+C$
  • $\int \frac1{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm asin}\ x+C$
  • $\int \frac1{1+x^2}{\rm d}x={\rm atan}\ x+C$
  2. 常用函数积分表
  • $\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C$
  • $\int \ln x {\rm d}x=x(\ln x-1)$
  • $\int x^{\alpha}=\frac1{\alpha +1}c^{\alpha +1}+C$
  • $\int \sin x {\rm d}x=-\cos x +C$
  • $\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C$
  • $\int \tan x {\rm d}x=-\int \cos^{-1}x\ {\rm d}(\cos x)=-\ln |\cos x|+C=\frac12 \ln (\tan^2 x+1)+C$
  • $\int \cot x {\rm d}x=\int \sin^{-1}x\ {\rm d}(\sin x)=\ln |\sin x|+C=-\frac12\ln (\cot^2 x+1)+C$
  • $\int \sec x {\rm d}x=\int \frac1{\cos x} {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
  • $\int \csc x {\rm d}x=\int \frac1{\sin x} {\rm d}x=\int \frac1{\sin\frac x2\cos\frac x2} {\rm d}(\frac x2)$
  3. 三角函数积分表
  • $\int \sin x\ {\rm d}x=-\cos x +C$
  • $\int \sin^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x-\sin x\cos x)+C$(来自$\sin^2 x=\frac12(1-\cos(2x))$)
  • $\int \cos x\ {\rm d}x=\sin x+C$
  • $\int \cos^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x+\sin x\cos x)+C$(来自$\cos^2 x=\frac12(1+\cos(2x))$)
  • $\int \tan x\ {\rm d}x=\frac12\ln(\tan^2x+1)+C$
  • $\int \tan^2 x\ {\rm d}x=\int (\cos^{-2}x-1){\rm d}x=\tan x-x+C$
  • $\int \cot x\ {\rm d}x=-\frac12\ln(\cot^2x+1)+C$
  • $\int \cot^2 x\ {\rm d}x=\int (\sin^{-2} x-1){\rm d}x=\cot x-x+C$
  • $\int \sec x {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
  • $\int \csc x {\rm d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$
  4. 反三角函数积分表
  • $\int {\rm asin}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\sin t)=t\sin t-\int \sin t\ {\rm d}t=t\sin t+\cos t+C=xasin\ x+\sqrt{1-x^2}+C$
  • $\int {\rm acos}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\cos t)=t\cos t-\int \cos t\ {\rm d}t=t\cos t-\sin t+C=xacos\ x-\sqrt{1-x^2}+C$
  • $\int {\rm atan}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\tan t)=t\tan t-\int \tan t\ {\rm d}t=t\tan t-\frac12\ln(1+\tan^2t)+C=xatan\ x-\frac12\ln(1+x^2)+C$
  • $\int acot\ x$
  5. 常用积分法
  • $\int (kx+b)e^x=(kx+b-k)e^x+C$
  • $\int f(ax)\ {\rm d}x=\frac1a\int f(x) {\rm d}x$
• 运算法则
  • 不定积分
    • 性质
    • 第一换元积分法： $\int (f \circ g)(x)g'(x){\rm d}x=\int (f \circ g)(x) {\rm d}g(x)=\int f(u){\rm d}u=F(u)+C=(F \circ g)(x)+C$
    • 第二换元积分法： $f(x)$ 连续，$x=x(t)$ 连续可微，$x=x(t)$ 存在反函数 $t=t(x)$ ：$\int (f \circ x)(t)x'(t){\rm d}t=F(t)+C \Rightarrow \int f(x){\rm d}x=\int (f \circ x)(t)x'(t){\rm d}t=F(t)+C=(F \circ t)(x)+C$
    • 分部积分法：
      • 导数形式：$u(x)$ 可导，$v(x)$ 可积：$u'(x)\int v(x)$ 存在原函数 $\Rightarrow$ $u(x)v(x)$ 存在原函数，$\int u(x)v(x){\rm d}x=u(x)\int v(x)\ {\rm d}x-\int u'(x)\int v(x){\rm d}x\ {\rm d}x$
      • 微分形式：${{\rm d}u \over {\rm d}x},{{\rm d}v \over {\rm d}x}$存在，$v(x){{\rm d}(u(x)) \over {\rm d}x}$ 存在原函数 $\Rightarrow$ $u(x){{\rm d}(v(x))\over {\rm d}x}$ 存在原函数，$\int u(x){\rm d}(v(x))=u(x)v(x)-\int v(x){\rm d}(u(x))$
        (一边求导降次，一边积分不升次=>可用分部积分)
        (反对幂指三)(前面的优先设为u(x))
    • 有理函数积分：
      • 定义：$R(x)={P(x) \over Q(x)}$
      • 前置结论：
        1. 任何一个实多项式都可以拆成若干个一次因式和 $\delta<0$ 的二次因式的积
        2. 任何一个有理函数都可以拆成有限个 $F_a(x)={A_1 \over x-a},F_{a,m}(x)={A_m \over (x-a)^m},F_{p,q}(x)={B_1x+C_1 \over x^2+px+q}$ 和 $F_{p,q,m}(x)={B_mx+C_m \over (x^2+px+q)^m}\ (p^2-4q<0)$ 的和
      • 计算：
        $$\begin{array}{l} \begin{align} \int R(x){\rm d}x&=\int {P(x) \over Q(x)}{\rm d}x \hspace{100cm}\\ &=\sum\limits_a\int F_a(x){\rm d}x+\sum\limits_a\sum\limits_m\int F_{a,m}(x){\rm d}x+\sum\limits_{p,q}\int F_{p,q}(x){\rm d}x+\sum\limits_{p,q}\sum\limits_m\int F_{p,q,m}(x){\rm d}x\\ \ \\ \int F_a(x){\rm d}x&=\int {A_1 \over x-a}=A_1\int (x-a)^{-1}{\rm d}x=A_1\ln|x-a|+C\\ \ \\ \int F_{a,m}(x){\rm d}x&=\int {A_m \over(x-a)^m}=A_m\int (x-a)^{-m}{\rm d}x={A_m \over 1-m}(x-a)^{1-m}+C\\ \ \\ \int F_{p,q}(x){\rm d}x&=\int {B_1x+C_1 \over x^2+px+q}{\rm d}x\\ &=\int {B_1x+C_1 \over (x-h)^2+k^2}{\rm d}x(h=-\frac p2,k=\sqrt{q-\frac{p^2}4})\\ &=\int {B_1(x-h)+(C_1+B_1h) \over (x-h)^2+k^2}{\rm d}(x+h)\\ &=B_1\int t(t^2+k^2)^{-1}{\rm d}t+(C_1+B_1h)\int (t^2+k^2)^{-1}{\rm d}t(t=x-h)\\ &=\frac{B_1}2\int (t^2+k^2)^{-1}{\rm d}(t^2+k^2)+\frac{C_1+B_1h}k\int((\frac tk)^2+1)^{-1}{\rm d}(\frac tk)\\ &=\frac{B_1}2\ln(t^2+k^2)+\frac{C_1+B_1h}katan\frac tk+C\\ &=\frac{B_1}2\ln(x^2+px+q)+{2C_1-B_1p \over \sqrt{4q-p^2}}atan{2x-p \over \sqrt{4q-p^2}}+C\\ \int F_{p,q,m}(x){\rm d}x&={B_mx+C_m \over (x^2+px+q)^m}\\ &=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}(t^2+k^2)+(C_m+B_mh)\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}t(t=x-h,h=-\frac p2,k=\sqrt{q-\frac{p^2}4})\\ &=G_{m,k}(t)+H_{m,k}(t)\\ \ \\ G_{m,k}(t)&=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}(t^2+k^2)={B_m \over 2(1-m)}(t^2+k^2)^{1-m}+C\\ \ \\ H_{m,k}(t)&=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}t=\frac x{2(m-1)(t^2+k^2)^{m-1}}+k^{-2}(1-\frac 1{2(m-1)})H_{m-1,k}(t)(H_{1,k}(x)=\frac{C_1+B_1h}katan\frac tk+C) \end{align}$$
        • 换元->分部->降次+通式->通式
    • 三角有理函数积分：$t=\tan \frac x2,\sin x={2t \over 1+t^2},\cos x={1-t^2 \over 1+t^2}$
    • 无理函数积分
      • 含 $\sqrt[n]{ax+b \over cx+{\rm d}}:t=\sqrt[n]{ax+b \over cx+{\rm d}}$
      • 含 $\sqrt{ax^2+bx+c}:\sqrt{ax^2+bx+c}\ \Rightarrow \sqrt{a(x-h)^2+k}\ \Rightarrow \sqrt k\sqrt{(\sqrt{\frac ak}(x-h))^2+1}$ 反三角函数的导数
        • 换元积分法：$\int f(x)$
  • 定积分
    • 性质：
      • $\int_a^af(x){\rm d}x=0$
      • $\int_b^af(x){\rm d}x=-\int_a^bf(x){\rm d}x$
      • $\int_a^bkf(x){\rm d}x=k\int_a^bf(x){\rm d}x$
      • $\int_a^b(f(x) \pm g(x)){\rm d}x=\int_a^bf(x){\rm d}x \pm \int_a^bg(x){\rm d}x$
      • $\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^cf(x){\rm d}x+\int_c^bf(x){\rm d}x$
      • $\forall\ x \in [a,b],f(x)=1 \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x=b-a$
      • $f(x) \geq 0 \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x \geq 0$
        • $f(x) \geq g(x) \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x \geq \int_a^bg(x){\rm d}x$
        • $|\int_a^b f(x){\rm d}x| \leq \int_a^b|f(x)|{\rm d}x (a<b)$
      • $m=\min\limits_{x \in [a,b]}f(x),M=\max\limits_{x \in [a,b]}f(x):m(b-a) \leq \int_a^bf(x){\rm d}x \leq M(b-a)$
      • $f(x)$ 在$[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a,b]$上可积且不变号 $\Rightarrow \exists\ \xi \in [a,b],\int_a^bf(x)g(x){\rm d}x=f(\xi)\int_a^bg(x){\rm d}x$
    • 微积分学基本定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow \Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $\Phi'(x)=\frac {\rm d}{{\rm d}x}\int_a^bf(t){\rm d}t=f(x)$
    • 牛顿-莱布尼茨公式：
      • 形式一：$\int_a^bf(x){\rm d}x=\int f(b){\rm d}x-\int f(a){\rm d}x$
      • 形式二：$\int_a^bf(x){\rm d}x=\int f(x){\rm d}x|_a^b$
    • 换元法：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=g(t)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导函数：$\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}(f \circ g)(t)g'(t){\rm d}t$
    • 分部积分法：
      • 导数形式：$\int_a^bu(x)v'(x){\rm d}x=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x){\rm d}x$
      • 微分形式：$\int_a^bu(x){\rm d}(v(x))=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bv(x){\rm d}(u(x))$
  • 二重积分
  • 三重积分
  • 曲线积分
  • 曲面积分

微分方程计算

• 一阶微分方程(${dy \over dx}=f(x,y)$)：
  • 基础-分离变量法：${dy \over dx}=f(x,y) \Rightarrow \psi(y)dy=\phi(x)dx \Rightarrow \Psi(y)=\Phi(x)+C$
    （要求 $f(x,y)$ 可被分解为 $M(x)N(y)$ 的形式）
    • 特殊形式（可通过换元分离变量）：
      • 齐次方程：${dy \over dx}=f(\frac yx)$ $(let\ u=\frac yx:y=ux,{dy \over dx}=u+x{du \over dx},{du \over dx}={f(u)-u \over x})$
        (其他可以化为齐次方程的形式：${dy \over dx}=f({a_1x+b_1y+C_1 \over a_2x+b_2y+C_2})$（上下$\frac ab$相等时令 $u=ax+by$ ,否则换元消掉常数$C$后上下同除x即可变为齐次方程）)
  • 扩展：
    • ${d^2y \over dx^2}=f(x,{dy \over dx})$ 型：换元 $u={dy \over dx}$,按 ${dy \over dx}=f(x,y)$ 型求，最后积分
    • ${d^2y \over dx^2}=f(y,{dy \over dx})$ 型：令 ${dy \over dx}=q$ ，则 ${d^2y \over dx^2}=q{dq \over dy} \Rightarrow {dq \over dy}={f(y,q) \over q}$
    • $y^{(n)}=f(x)$ 型：不断积分得 $y=(\int dx)^nf(x)+\sum\limits_{i=0}^{n-1}{C_{n-i} \over i!}x^i$
• 线性微分方程：$\sum\limits_{i=0}^{n} a_i(x)y^{(i)}=f(x)$ （假设 $a_i(x) \equiv 1$）
  • n阶齐次线性微分方程：求出n个线性无关解 $\{y_i(x)\}_{i=1}^n$ ,则通解为 $y=\sum\limits_{i=1}^n C_iy_i(x)$
  • n阶非齐次线性微分方程：求出对应齐次线性微分方程的通解和原方程的一个特解加和即可
  • 一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 解法：
    • $if\ Q(x) \equiv 0$: 分离变量法 $\Rightarrow y=Ce^{-\int P(x)dx}$
    • $else$: 常数变易法
      ($let\ y=C(x)e^{-\int P(x)dx}$，求导后对应相等得
      $y=Ce^{-\int P(x)dx}+e^{-\int P(x)dx}\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$
      前半部分为齐次线性微分方程通解，后半部分为非齐次线性微分方程特解)
    • 特殊形式：
      • Bernoulli方程：$y'+P(x)y=Q(x)y^n \Rightarrow y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x) \Rightarrow \frac1{1-n}(y^{1-n})'+P(x)y^{1-n}=Q(x)$
  • 二阶线性微分方程：
    • 齐次（$y''+p(x)y'+q(x)y=0$）: $y_2(x)=y_1(x)\int\frac1{y_1^2(x)}e^{-\int p(x)dx}dx$(刘维尔公式)
    • 非齐次：常数变易法（令 $y=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$ 求解得 $C_1(x)=\int({-y_2(x)f(x) \over W})dx+D_1,C_2(x)=\int({-y_1(x)f(x) \over W})dx+D_2$ 代入即可）
  • 常系数齐次线性微分方程：
    • 二阶：令 $\phi(r)=r^2+pr+q$ (特征多项式):
      • 若 $\Delta>0,y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
      • 若 $\Delta=0,y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$
      • 若 $\Delta<0,r=\alpha \pm i\beta,y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
    • n阶：
      • k重实根 $r:e^{rx}\sum\limits_{i=1}^kC_ix^{i-1}$
      • 共轭k重复根 $r=\alpha \pm i\beta:e^{\alpha x}[\cos\beta x\sum\limits_{i=1}^k C_ix^{i-1}+\sin\beta x\sum\limits_{i=1}^k D_ix^{i-1}]$
  • 常系数非齐次线性微分方程：(特殊情况：$P_m(x),e^{\lambda x},\sin\beta x,\cos\beta x$)
    (本质：列出可能的项设参求导后对应相等)
    • $f(x)=P_m(x)$: 待定系数法对应相等
    • $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$: 设 $y^*=Q(x)e^{\lambda x}$，求 $Q''(x)+\phi'(\lambda)Q'(x)+\phi(\lambda)Q(x)=P_m(x)$ 的特解
    • $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\sin\beta x$ 或 $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\cos\beta x$:复数换元
  • 常系数线性微分方程组：
    • (1) 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程
    • (2) 解次高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数
    • (3) 把已求得的函数代入原方程组（一般而言，不必经过积分就可求出其余的位置函数）
• 欧拉方程：$\sum\limits_{i=0}^{n}p_{n-i}x^{i}y^{(i)}=f(x)$（假设 $p_0=1$）
  • 设 $t=\ln x,D=\frac d{dt}$，则 $x^ky^{(k)}=D^{\underline k}[y]$

级数收敛

• 常数项级数：收敛判定
  • 正项级数：$a_n \geq 0$ 的级数，记为 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$
    • $u_i$ 收敛 $\Leftrightarrow \{s_n\}$ 有上界
    • 比较审敛法：（多项式优先使用）
      • 基础版本：已知正项级数 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,u_n \leq kv_n(k>0)$:
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散 $\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 发散
      • 进化版本（常用）：已知正项级数 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {u_i\over v_i}=k(k \geq 0)$:
        • $k=0:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛
        • $k=C>0:\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 敛散性相同
        • $k=+\infty:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 发散 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散
      • 推论（改进版本）：当 $v_n=\frac1{n^p}$ 时：
        • $p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n$ 收敛
        • $p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n$ 收敛
    • 比值审敛法/达朗贝尔判别法：已知 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty }{u_{n+1} \over u_n}=k(k \geq 0)$:
      • $0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛
      • $k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 可能收敛，也可能发散
      • $k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散
        （幂次简单的指数函数、阶乘优先使用）
    • 柯西根值审敛法：已知 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=k$
      • $0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛
      • $k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 可能收敛，也可能发散
      • $k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散
        （幂次为复杂多项式的指数函数优先使用）
    • 积分审敛法/积分判别法：已知单调递减非负函数 $f(x)(x \geq 1)$ 与 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$，若 $u_n=f(n)$，则 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x){\rm d}x$ 敛散性相同
  • 任意项级数：
    • 柯西审敛原理：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 收敛 $\Leftrightarrow \forall\ \varepsilon>0, \exists\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N, |\sum\limits_{i=1}^\infty a_{n+i+1}| \leq \varepsilon$（来自数列的柯西审敛原理）
    • 莱布尼茨定理：$\sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i$ 满足：
      • $u_n \geq u_{n+1}$
      • $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n=0$
        $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i$ 收敛，且 $s \leq u_1,|r_n| \leq u_{n+1}$
    • 估计审敛法：
      • 绝对收敛：$\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 绝对收敛
      • 条件收敛：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 收敛，$\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|$ 发散 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 条件收敛
      • $u_n^+=\frac{|u_n|+u_n}2,u_n^-=\frac{|u_n|-u_n}2$(均不含符号)
        • $u_n=u_n^+-u_n^-,|u_n|=u_n^++u_n^-$
      • 定理：
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 绝对收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-$ 均收敛（来自柯西审敛原理+三角不等式得出 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛，再由比较审敛法得另两个收敛）（ $|\sum\limits_{i=1}^k u_{n+i}|=\sum\limits_{i=1}^k|u_{n+i}|$）
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 条件收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-$ 均发散到 $+\infty$（ $\sum\limits_{i=1}^\infty (|u_i| \pm u_i)$ 发散 ）
        • 绝对收敛级数经改变项的次序后所得到的新级数仍绝对收敛，并且级数的和不变
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty b_i$ 绝对收敛，其和分别为 $s,\sigma$ $\Rightarrow (\sum\limits_{i=1}^\infty a_i)(\sum\limits_{i=1}^\infty b_i)$，且其和为 $s\sigma$
• 函数项级数：收敛域判定
  • 幂级数：$(-R,R)$（边界需特判）
    • Abel 定理：
      • $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $x=x_0 \neq 0$ 处收敛 $\Rightarrow |x|<|x_0|$ 时 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 绝对收敛
      • $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $x=x_0 \neq 0$ 处发散 $\Rightarrow |x|>|x_0|$ 时 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 发散
      • 推论：$\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 收敛域可能性：$(-R,R),(-R,R],[-R,R),[-R,R]$
    • 比值判别法：已知 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| =k$
      • $k=0:R=+\infty$
      • $0<k<+\infty:R=\frac1k$
      • $k=+\infty:R=0$
    • 根值判别法：已知 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=k$
      • $k=0:R=+\infty$
      • $0<k<+\infty:R=\frac1k$
      • $k=+\infty:R=0$

级数求和（仅针对幂级数）

• 方法：通过转化为 $\sum\limits_{i=k_1}^{k_2} x^i$ 计算
  • 积分法则：$\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i=\int_0^x (\sum\limits_{i=0}^\infty (i+1)a_{i+1}t^i){\rm d}t+a_0$
    • 本质：$s(x)=\int_0^x s'(t){\rm d}t+s(0)$
  • 求导法则：$\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i={{\rm d}(\sum\limits_{i=0}^n {a_i \over i+1}x^{i+1}) \over {\rm d}x}$
    • 本质：$s(x)={{\rm d}{\int s(x){\rm d}x} \over {\rm d}x}$
• 转化技巧：
  • 注意和式的起始位置不要搞错（为了防止搞错，过程中尽量不要改变 $i$ 求和的起始位置，到要转化为 $\frac 1{1-x}$ 时再换）
    • $\sum\limits_{i=1}^n x^i=\frac 1{1-x}-1 \neq \frac 1{1-x}$
  • 分式要拆成和，不要二重积分（会增加不定元）
    • $\sum\limits_{i=1}^\infty {x^i \over i(i+1)}=\sum\limits_{i=1}^\infty {x^i \over i}-\frac 1x\sum\limits_{i=1}^\infty{x^{i+1} \over i+1}=\int_0^x(\sum\limits_{i=1}^\infty t^{i-1}){\rm d}t+\frac 1x\int_0^x(\sum\limits_{i=1}^\infty t^i){\rm d}t=\int_0^x\frac 1{1-t}{\rm d}t+\frac 1x\int_0^x (\frac 1{1-t}-1){\rm d}t=(1+\frac 1x)\ln(1-x)+x$

待完善。。。