Discrete Calculus 学习笔记

无穷数列

定义

• 无穷数列：按某一法则，对所有 $n \in {\mathbb N^*}$，对应着一个确定的实数 $a_n$，这些实数按下标 $n$ 从小到大排列得到的一个序列成为无穷数列，简称数列
  • 项：数列中的一个数
  • 通项/一般项：$x_n$
• 特殊数列：
  • 单调数列：
    • 单调递增：$a_n \leq a_{n+1}$
    • 单调递减：$a_n \geq a_{n+1}$
• 极限：$\forall\ \varepsilon>0, \exists\ N>0, \forall\ n>N,|a_n-a|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}$ 极限存在，记作 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=a$ 或 $a_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$
• 子列：从 $\{a_n\}$ 中任意选出无穷多项，保持原来的顺序得到的新数列称为 $\{a_n\}$ 的子列，记为 $\{a_{n_k}\}$

性质

• 敛散性：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=C \Rightarrow \{a_n\}$ 收敛$(\{a_n\}$ 为收敛数列$)$，否则 $\{a_n\}$ 发散$(\{a_n\}$ 为发散数列$)$
  • 去掉或改变 $\{a_n\}$ 的有限项，不改变其敛散性
  • 极限的唯一性：$\{a_n\}$ 收敛 $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$ 唯一
  • 收敛数列的有界性：$\{a_n\}$ 收敛 $\Rightarrow \{a_n\}$ 有界
  • 收敛数列的保序性：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=a,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n=b,a_n \leq b_n \Rightarrow a \leq b$
  • 子列的收敛性：$\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow \forall\ \{a_{n_k}\},\{a_{n_k}\}$ 收敛
  • 柯西审敛原理：$\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow \forall\ \varepsilon >0,\exists\ N,\forall\ m,n>N,|a_m-a_n|<\varepsilon$
• 有界性：$\exists\ M>0, \forall\ n,|a_n| \leq M \Rightarrow \{a_n\}$ 有界$(\{a_n\}$ 为有界数列$)$，否则 $\{a_n\}$ 无界$(\{a_n\}$ 为无界数列$)$
  • 上界：$\exists\ M,a_n \leq M \Rightarrow M$ 为 $\{a_n\}$ 的上界
  • 下界：$\exists\ M,a_n \geq M \Rightarrow M$ 为 $\{a_n\}$ 的下界

无穷级数

用于研究函数(复杂函数可以看为简单函数的和)

常数项级数

• 定义：$\sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i$
  • 部分和：$s_n=\sum\limits_{i=1}^n a_i$
  • 部分和数列：$\{s_n\}$
  • 余项(收敛数列限定)：$r_n=s-s_n$
• 性质：
  • 敛散性：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{n=1}^n a_n=s \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{\infty}a_i$ 收敛， $otherwise$ 发散
    • $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n a_i=s \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n a_i=ks$
    • $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n a_i=s,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n b_i=\sigma \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n (a_i \pm b_i)=s \pm \sigma$
      • $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ 发散 $\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \pm b_n)$ 发散
    • 在级数中添加、删除或改变有限项不改变收敛性，但可能使收敛级数的和改变
    • 对收敛级数的项任意加括号后所产生的的新级数（每个括号内的各项之和作为新级数的和）仍收敛，且其和不变
      • 总结：原级数收敛 $\Rightarrow$ 结合后级数收敛,原级数发散 $\Leftrightarrow$ 结合后级数发散
      • 特殊：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 各项符号相同 $\Leftrightarrow \{s_n\}$ 单调 $\Leftrightarrow$ 原级数与结合后级数敛散性相同
    • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 收敛 $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n =0$
      • 推论：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 发散
• 特殊级数：
  • 比值级数/等比级数/几何级数：$\sum\limits_{i=1}^\infty kq^i$
  • p-级数：$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p}(p>0)$
    • 调和级数(1-级数)：$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1i$
      • 性质：$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1i$ 发散（$u_i=\frac1i=\sum\limits_{j=2^{i-1}+1}^{2^i} \frac 1j > 2^{i-1}*\frac1{2^i}=\frac12 \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n \neq 0 \Rightarrow$ 原级数发散）
    • 性质：
      • $0<p \leq 1: \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p}$ 发散（$\sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p} \geq \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1i$ 发散）
      • $p>1: \sum\limits_{i=1}^\infty \frac1{i^p}$ 收敛（积分审敛法）
  • 交错级数：$\pm \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1} u_i(u_n>0)$
• 审敛法：
  • 正项级数：$a_n \geq 0$ 的级数，记为 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$
    • $u_i$ 收敛 $\Leftrightarrow \{s_n\}$ 有上界
    • 比较审敛法：
      • 基础版本：已知正项级数 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,u_n \leq kv_n(k>0)$:
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛
          （$\sum\limits_{i=1}^\infty u_i \leq k\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 收敛 $\Rightarrow s_n^{(u)} \leq ks_n^{(v)}$ 有上界 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛）
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散 $\Rightarrow\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 发散
          （$\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散 $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n=k\lim\limits_{n \rightarrow \infty} v_n \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 发散）
      • 进化版本（常用）：已知正项级数 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} {u_i\over v_i}=k(k \geq 0)$:
        • $k=0:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛
        • $k=C>0:\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 敛散性相同
        • $k=+\infty:\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 发散 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散
          (证明：$\sum\limits_{i=1}^\infty u_i < (k+\varepsilon_1)\sum\limits_{i=1}^\infty v_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i < (\frac1k+\varepsilon_2)\sum\limits_{i=1}^\infty u_i (\varepsilon_1,\varepsilon_2 \rightarrow 0^+)$)
      • 推论（改进版本）：当 $v_n=\frac1{n^p}$ 时：
        • $p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n$ 收敛
        • $p>1\ \land\ l \neq +\infty \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_n$ 收敛
          （多项式优先使用）
    • 比值审敛法/达朗贝尔判别法：已知 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty }{u_{n+1} \over u_n}=k(k \geq 0)$:
      • $0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛（取 $r$ 满足 $k<r<1$，则 $\exist\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N,u_{n+1}<ru_n \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i<\sum\limits_{i=1}^{N-1}u_i +\sum\limits_{i=N}^\infty r^{i-N}u_N$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛）
      • $k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 可能收敛，也可能发散
      • $k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散（取 $r$ 满足 $1<r<k$，则 $\exist\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N,u_{n+1}>ru_n \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}u_n \neq 0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛）
        （幂次简单的指数函数、阶乘优先使用）
    • 柯西根值审敛法：已知 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=k$
      • $0 \leq k<1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛（证明类似比值判别法）
      • $k=1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 可能收敛，也可能发散
      • $k>1: \sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 发散（证明类似比值判别法）
        （幂次为复杂多项式的指数函数优先使用）
    • 积分审敛法/积分判别法：已知单调递减非负函数 $f(x)(x \geq 1)$ 与 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$，若 $u_n=f(n)$，则 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x){\rm d}x$ 敛散性相同
    • 总结：
      • 基础判定：
        • 收敛：$\{s_n\}$ 有上界
        • 发散：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0$
      • 审敛法选择：
        • 基础：比较审敛法（等价无穷小）
        • 简单指数函数/阶乘：比值审敛法
        • 复杂指数函数：根值审敛法
        • 扩展：
          • 积分审敛法
          • 敛散性运算规律：正项级数 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i,\sum\limits_{i=1}^\infty v_i$ 收敛，$u_n>0,v_n>0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty u_iv_i$ 收敛（比较审敛法+收敛的必要条件）
  • 任意项级数：
    • 柯西审敛原理：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 收敛 $\Leftrightarrow \forall\ \varepsilon>0, \exists\ N \in N,s.t.\ \forall\ n>N, |\sum\limits_{i=1}^\infty a_{n+i+1}| \leq \varepsilon$（来自数列的柯西审敛原理）
    • 莱布尼茨定理：$\sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i$ 满足：
      • $u_n \geq u_{n+1}$
      • $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} u_n=0$
        $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^{i-1}u_i$ 收敛，且 $s \leq u_1,|r_n| \leq u_{n+1}$
        （$s_{2n}=\sum\limits_{i=1}^n (u_{2i-1}-u_{2i})=u_1-\sum\limits_{i=1}^{n-1} (u_{2n}-u_{2n+1})-u_{2n}$，由第一种形式得 $\{s_{2n}\}$ 单调递增，由第二种形式得 $s_{2n}<u_1 \Rightarrow \{s_{2n}\}$ 有上界 $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_{2n}=s \leq u_1 \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_n=s \leq u_1 \Rightarrow$ 原级数收敛）
    • 估计审敛法：
      • 绝对收敛：$\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|$ 收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 绝对收敛
      • 条件收敛：$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 收敛，$\sum\limits_{i=1}^\infty |a_i|$ 发散 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 条件收敛
      • $u_n^+=\frac{|u_n|+u_n}2,u_n^-=\frac{|u_n|-u_n}2$(均不含符号)
        • $u_n=u_n^+-u_n^-,|u_n|=u_n^++u_n^-$
      • 定理：
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 绝对收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-$ 均收敛（来自柯西审敛原理+三角不等式得出 $\sum\limits_{i=1}^\infty u_i$ 收敛，再由比较审敛法得另两个收敛）（ $|\sum\limits_{i=1}^k u_{n+i}|=\sum\limits_{i=1}^k|u_{n+i}|$）
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ 条件收敛 $\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty a_i^+,\sum\limits_{i=1}^\infty a_i^-$ 均发散到 $+\infty$（ $\sum\limits_{i=1}^\infty (|u_i| \pm u_i)$ 发散 ）
        • 绝对收敛级数经改变项的次序后所得到的新级数仍绝对收敛，并且级数的和不变
        • $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i,\sum\limits_{i=1}^\infty b_i$ 绝对收敛，其和分别为 $s,\sigma$ $\Rightarrow (\sum\limits_{i=1}^\infty a_i)(\sum\limits_{i=1}^\infty b_i)$，且其和为 $s\sigma$
• 实际示例：
  • 无限循环小数( $x$ 是分数/无限循环小数 $\Leftrightarrow x$ 对应的级数可收敛)
  • 康托尔三分点集（康托尔尘集）:
    • 取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后边长 $r=(\frac13)^n$，边数 $N(r)=2^n$，根据公式 ${\rm d}=-{\ln N(r) \over \ln r}$ , ${\rm d}={\ln 2 \over \ln 3}=0.631$。所以康托尔点集分数维是0.631。(摘自百度百科)

函数项级数

• 定义：
  • 函数项级数：$\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x)\ (x \in I)$
    • 收敛点：$x_0$ 满足 $\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x_0)$ 收敛
    • 发散点：$x_0$ 满足 $\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x_0)$ 发散
    • 收敛域：$\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x)$ 所有收敛点的集合，记作 $I_0$
    • 和函数：$s(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_n(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty u_i(x),x \in I_0$
    • 余项：$r_n(x)=s(x)-s_n(x)$
• 收敛域判定：比较审敛法简化，比值审敛法/根值审敛法分类讨论
• 特殊级数：
  • 幂级数：
    • 定义：$\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$
      • 收敛半径：$\argmax\limits_R \big( \sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $(-R,R)$ 内收敛 $\big)$
        • 可能情形：
          • $R=0:\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $x=0$ 处收敛
          • $R=+\infty:\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $\mathbb R$ 上收敛
          • $0<R<+\infty:\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $(-R,R)$ 上收敛，在 ${\mathbb N}- [-R,R]$ 上发散
    • 收敛域判定：
      • Abel 定理：
        • $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $x=x_0 \neq 0$ 处收敛 $\Rightarrow |x|<|x_0|$ 时 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 绝对收敛
        • $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 在 $x=x_0 \neq 0$ 处发散 $\Rightarrow |x|>|x_0|$ 时 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 发散
        • 推论：$\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i$ 收敛域可能性：$(-R,R),(-R,R],[-R,R),[-R,R]$
      • 比值判别法：已知 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} |{a_{n+1} \over a_n}| =k$
        • $k=0:R=+\infty$
        • $0<k<+\infty:R=\frac1k$
        • $k=+\infty:R=0$
      • 根值判别法：已知 $\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i,\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=k$
        • $k=0:R=+\infty$
        • $0<k<+\infty:R=\frac1k$
        • $k=+\infty:R=0$
    • 运算：（要求 $x \in I_{0a} \cap I_{0b}$）（仅幂级数满足）
      • 加减法：$\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i \pm \sum\limits_{i=0}^\infty b_ix^i=\sum\limits_{i=0}^\infty (a_i \pm b_i)x^i$
      • 乘法：$(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i)(\sum\limits_{i=0}^\infty b_ix^i)=\sum\limits_{i=0}^\infty (\sum\limits_{j=1}^\infty a_{i-j}b_j)x^i$
      • 除法：${\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i \over \sum\limits_{i=0}^\infty b_ix^i}=\sum\limits_{i=0}^\infty c_ix^i, c_i=a_i-\sum\limits_{j=0}^{i-1}b_{i-j}c_j$
    • 和函数性质：(要求 $x \in I_0$)
      • 基础原理：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i=\sum\limits_{i=0}^\infty \lim\limits_{x \rightarrow x_0} a_ix^i$
      • $s'(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty ia_ix^{i-1}$
      • $\int_0^x s(x){\rm d}x=\sum\limits_{i=0}^\infty {a_n \over i+1}x^{i+1}$
    • 函数的幂级数展开：（注：展开后级数的和函数 $\not \Leftrightarrow$ 展开前的原函数(定义域不同)）
      • 定理：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内具有各阶导数，则函数 $f(x)$ 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是泰勒公式中的余项 $R_n(x)$ 在该邻域内当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限为 $0$
      • 泰勒级数：$f(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(x_i) \over i!}(x-x_0)^i\ (\xi \in (\min(x,x_0),\max(x,x_0)))$
        • 拉格朗日余项：$R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
      • 麦克劳林级数：$f(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0) \over i!}x^i$
        • 拉格朗日余项：$R_n(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}x^{n+1}$
      • 展开方式：
        • 直接法：按定理先求出在点 $x_0$ 处函数 $f(x)$ 的各阶导数，写出泰勒级数并求出其收敛域，然后在收敛域内讨论余项 $R_n(x)$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时极限是否为零，如果为零，则函数 $f(x)$ 能展开成泰勒级数
        • 间接法：用常用的麦克劳林级数整体代换
      • 应用：
        • 求极限
        • 近似计算（计算 $\ln 2 \Rightarrow$ 用 $\ln({1+x \over 1-x})$ 近似 ($\ln(1+x)$ 不够用)）
        • 常数项级数求和：Abel法（$\sum\limits_{i=1}^n a_iq^{i-1}$ 构造为幂级数计算）
        • 欧拉公式
  • 傅里叶级数
    • 三角级数：$\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^\infty(a_n\cos\frac{i\pi}l x+b_n\sin\frac{i\pi}l x)$
      • 三角函数系：$\{f:x \rightarrow \cos\frac{i\pi}l x(n \in {\mathbb N^*}),f:x \rightarrow \sin\frac{i\pi}l x(n \in {\mathbb N^*}),f:x \rightarrow 1\}$
        • 正交性：三角函数系任意两个不同的函数的乘积在 $[-l,l]$ 上的积分为零
          • $\int_{-l}^l 1 \times \cos\frac{i\pi}l x {\rm d}x=0$
          • $\int_{-l}^l 1 \times \sin\frac{i\pi}l x {\rm d}x=0$
          • $\int_{-l}^l \cos\frac{i_1\pi}l x \times \cos\frac{i_2\pi}l x {\rm d}x=0$
          • $\int_{-l}^l \sin\frac{i_1\pi}l x \times \cos\frac{i_2\pi}l x {\rm d}x=0$
          • $\int_{-l}^l \sin\frac{i_1\pi}l x \times \sin\frac{i_2\pi}l x {\rm d}x=0$
            （积化和差$\rightarrow \sin k\pi=0,\cos x-\cos(-x)=0 \rightarrow$ 结论）
    • 傅里叶级数展开：
      • $f(x)=\frac{a_0}2+\sum\limits_{i=1}^\infty (\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{i\pi}l x{\rm d}x)\cos\frac{i\pi}lx+(\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{i\pi}l x {\rm d}x)\sin\frac{i\pi}lx)$（其中 $f(x)$ 为周期为 $2l$ 的周期函数）
      • 傅里叶系数：
        • $a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi}l x{\rm d}x$
        • $b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi}l x {\rm d}x$
        • 任意周期表达式：
          • $a_n=\frac1l\int_a^{a+2l} f(x)\cos\frac{n\pi}l x{\rm d}x$
          • $b_n=\frac1l\int_a^{a+2l} f(x)\sin\frac{n\pi}l x {\rm d}x$
      • 应用：周期延拓：将一小段函数经过复制粘贴得到周期函数（用于研究某一小段函数的性质）
    • 狄利克雷收敛定理：
      • 设 $f(x)$ 是周期为 $2l$ 的周期函数，如果它满足：
        1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
        2. 在一个周期内至多只有有限个极值点
           则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 ${\mathbb R}$ 上均收敛，并且
           • 在 $f(x)$ 的连续点 $x_0$ 处，级数收敛于 $f(x_0)$
           • 在 $f(x)$ 间断点 $x_0$ 处，级数收敛于 $\frac{f(x_0^+)+f(x_0^-)}2$
    • 正弦级数：$f(x) \sim \sum\limits_{i=0}^\infty b_n\sin\frac{i\pi}lx$
      • 要求：$f(x)$ 为奇函数
    • 余弦级数：$f(x) \sim \sum\limits_{i=0}^\infty a_n\sin\frac{i\pi}lx$
      • 要求：$f(x)$ 为偶函数

附表

麦克劳林级数表

• $e^x=\sum\limits_{i=0}^\infty{x^i \over i!},x \in {\mathbb R}$
• $(1+x)^\alpha=\sum\limits_{i=0}^\infty {\alpha^{\underline i} \over i!}x^i,x \in {\mathbb (-1,1)}$（$\pm 1$ 处要单独分类讨论）
  • $\frac1{1-x}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i,x \in (-1,1)$
• $\ln(1+x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over i+1}x^{i+1},x \in (-1,1]$
• $\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i+1} \over (4i+1)!}-{x^{4i+3} \over (4i+3)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over (2i+1)!}x^{2i+1},x \in {\mathbb R}$
• $\cos x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i} \over (4i)!}-{x^{4i+2} \over (4i+2)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty{(-1)^i \over (2i)!}x^{2i},x \in {\mathbb R}$

导数表

• 一阶导数表：
  • $(C)'=0$
  • $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$
  • $(a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]$
  • $(\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]$
  • $(\sin x)'=\cos x$
    • 傅里叶级数：
  • $(\cos x)'=-\sin x$
  • $(\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}$
  • $(\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}$
  • $(\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}$
  • $(\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}$
  • $({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}$
  • $({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}$
  • $({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}$
  • $({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}$
  • $({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
  • $({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
  • $({\rm sinh}\ x)'=cosh\ x$
  • $({\rm cosh}\ x)'=sinh\ x$
  • $({\rm tanh}\ x)'=\frac1{cosh^2x}=sech^2x$
  • $({\rm coth}\ x)'=-\frac1{sinh^2x}=-csch^2x$
  • $({\rm sech}\ x)'=-sech\ x\ tanh\ x=-{sinh\ x \over cosh^2x}$
  • $({\rm csch}\ x)'=-csch\ x\ coth\ x=-{cosh\ x \over sinh^2x}$
  • $({\rm asin}h\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}$
  • $({\rm acos}h\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}$
  • $({\rm atan}h\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
  • $({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
  • $({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}$
  • $({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}$
• 高阶导数表：
  • $(x^n)^{(n)}=n!$
  • $(a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x$
  • $(\sin x)^{(n)}=sin(x+\frac{n\pi}2)$
  • $(\cos x)^{(n)}=cos(x+\frac{n\pi}2)$
• 导数关系表：
  • $({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0$
  • $({\rm atan}h\ x)'=(acoth\ x)'$

微分表

积分表

1. 逆微分表

• $\int C{\rm d}x=Cx+C'$
• $\int x^{\alpha }{\rm d}x=\frac1{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C$
• $\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C$
• $\int \frac1x {\rm d}x=ln|x|+C$
• $\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C$
• $\int \sin x {\rm d}x=-\cos x+C$
• $\int \sec^2x {\rm d}x=\int \cos^{-2}x {\rm d}x=\tan x+C$
• $\int \csc^2x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x {\rm d}x=-\cot x+C$
• $\int \sec x\tan x {\rm d}x=\int \sin x\cos^{-2}x {\rm d}x=\cos^{-1}x+C=\sec x+C$
• $\int \csc x\cot x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x \cos x {\rm d}x=-\sin^{-1}x+C=-\csc x+C$
• $\int \frac1{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm asin}\ x+C$
• $\int \frac1{1+x^2}{\rm d}x={\rm atan}\ x+C$

1. 常用函数积分表

• $\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C$
• $\int \ln x {\rm d}x=x(\ln x-1)$
• $\int x^{\alpha}=\frac1{\alpha +1}c^{\alpha +1}+C$
• $\int \sin x {\rm d}x=-\cos x +C$
• $\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C$
• $\int \tan x {\rm d}x=-\int \cos^{-1}x\ {\rm d}(\cos x)=-\ln |\cos x|+C=\frac12 \ln (\tan^2 x+1)+C$
• $\int \cot x {\rm d}x=\int \sin^{-1}x\ {\rm d}(\sin x)=\ln |\sin x|+C=-\frac12\ln (\cot^2 x+1)+C$
• $\int \sec x {\rm d}x=\int \frac1{\cos x} {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x {\rm d}x=\int \frac1{\sin x} {\rm d}x=\int \frac1{\sin\frac x2\cos\frac x2} {\rm d}(\frac x2)$

1. 三角函数积分表

• $\int \sin x\ {\rm d}x=-\cos x +C$
• $\int \sin^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x-\sin x\cos x)+C$(来自$\sin^2 x=\frac12(1-\cos(2x))$)
• $\int \cos x\ {\rm d}x=\sin x+C$
• $\int \cos^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x+\sin x\cos x)+C$(来自$\cos^2 x=\frac12(1+\cos(2x))$)
• $\int \tan x\ {\rm d}x=\frac12\ln(\tan^2x+1)+C$
• $\int \tan^2 x\ {\rm d}x=\int (\cos^{-2}x-1){\rm d}x=\tan x-x+C$
• $\int \cot x\ {\rm d}x=-\frac12\ln(\cot^2x+1)+C$
• $\int \cot^2 x\ {\rm d}x=\int (\sin^{-2} x-1){\rm d}x=\cot x-x+C$
• $\int \sec x {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x {\rm d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

1. 反三角函数积分表

• $\int {\rm asin}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\sin t)=t\sin t-\int \sin t\ {\rm d}t=t\sin t+\cos t+C=x{\rm asin}\ x+\sqrt{1-x^2}+C$
• $\int {\rm acos}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\cos t)=t\cos t-\int \cos t\ {\rm d}t=t\cos t-\sin t+C=x{\rm acos}\ x-\sqrt{1-x^2}+C$
• $\int {\rm atan}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\tan t)=t\tan t-\int \tan t\ {\rm d}t=t\tan t-\frac12\ln(1+\tan^2t)+C=x{\rm atan}\ x-\frac12ln(1+x^2)+C$
• $\int acot\ x$

1. 常用积分法

• $\int (kx+b)e^x=(kx+b-k)e^x+C$
• $\int f(ax)\ {\rm d}x=\frac1a\int f(x) {\rm d}x$