Calculu 学习笔记

变量

无穷小量

• 定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果对任意给定 $\forall\ \varepsilon >0,\exists\ \delta >0,\forall\ x \in \mathring U(x_0,\delta),|f(x)|<\varepsilon \Rightarrow f(x)$ 是当 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷小量，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=0$
  (其他趋向下的无穷小量可类似定义)
• 定理：
  • 设 $f(x)=g(x)+C:\lim f(x)=C \Leftrightarrow \lim g(x)=0$
  • 有限个无穷小量的和仍是无穷小量
  • 有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量
    • 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量
    • 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量
• 比较：
  • 高阶无穷小：$\lim {f(x) \over g(x)}=0 \Rightarrow f(x)$ 是比 $g(x)$ 高阶的无穷小量$(f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小量$)$，记作 $f(x)=\omicron(g(x))$
  • 低阶无穷小：$\lim {f(x) \over g(x)}=\infty \Rightarrow f(x)$ 是比 $g(x)$ 低阶的无穷小量$(f(x)$ 是 $g(x)$ 的低阶无穷小量$)$
  • 同阶无穷小：$\lim {f(x) \over g(x)}=C \neq 0 \Rightarrow f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小量
  • 等价无穷小：$\lim {f(x) \over g(x)}=0 \Rightarrow f(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小量，记作 $f(x) \sim g(x)$
    • 等价转换（用于极限计算）：$f_1(x) \sim f_2(x),g_1(x) \sim g_2(x),g_1(x) \neq 0,g_2(x) \neq 0,\lim{f_2(x) \over g_2(x)}=k \Rightarrow \lim{f_1(x) \over g_1(x)}=\lim{f_2(x) \over g_2(x)}$
  • k阶无穷小：$\lim {f(x) \over g^k(x)}=0 \Rightarrow f(x)$ 是 $g(x)$ 的k阶无穷小量

无穷大量

• 定义：$\forall\ M>0,\exists\ \delta>0,\forall\ x \in \mathring U(x_0,\delta),|f(x)|>M \Rightarrow f(x)$ 是当 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷大量，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=\infty$
  (其他趋向下的无穷大量/正无穷大量/负无穷大量可类似定义)

函数

定义

• 函数：$I$ 是数集：$\forall\ x \in I$ ，按照一定法则 $f$ 总有确定的数值 $y$ 与之对应 $\Rightarrow y$ 是 $x$ 的函数
• 定义域：$f:x \rightarrow y\ \small(x \in I \small):I$
• 自变量：$f:x \rightarrow y\ \small(x \in I \small):x$
• 因变量：$f:x \rightarrow y\ \small(x \in I \small):y$
• $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的函数值 $f(x_0)$：$f:x \rightarrow y\ \small(x \in I \small)$ ；$x_0$ 对应的 $y$
• 值域：$f:x \rightarrow y\ \small(x \in I \small):{\mathbb R}=\{y|y=f(x),x \in I\}$

性质

• 奇偶性：
  • 偶函数：$I$ 关于原点对称：$\forall\ x \in I\ ,f(x)=f(-x) \Rightarrow f(x)$ 为偶函数
  • 奇函数：$I$ 关于原点对称：$\forall\ x \in I\ ,f(x)=-f(-x) \Rightarrow f(x)$ 为奇函数
• 周期性：$\exists\ T>0\ ,\forall\ x \in I\ ,f(x+T)=f(x) \Rightarrow f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数（默认 $T$ 为最小正周期）
• 单调性：
  • 单调递增：$I \subseteq I:\forall\ x_1,x_2 \in I\ (x_1<x_2)\ ,f(x_1) \leq f(x_2) \Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上单调递增
  • 单调递减：$I \subseteq I:\forall\ x_1,x_2 \in I\ (x_1<x_2)\ ,f(x_1) \geq f(x_2) \Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上单调递减
  • 严格单调递增：$I \subseteq I:\forall\ x_1,x_2 \in I\ (x_1<x_2)\ ,f(x_1) < f(x_2) \Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增
  • 严格单调递减：$I \subseteq I:\forall\ x_1,x_2 \in I\ (x_1<x_2)\ ,f(x_1) > f(x_2) \Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减
• 有界性：
  • 有界函数：$I \subseteq I:\exists\ M>0\ , \forall\ x \in I\ ,|f(x)| \leq M \Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上有界
  • 无界函数：$I \subseteq I:\forall\ M>0\ , \exists\ x_0 \in I\ ,|f(x_0)| > M \Rightarrow f(x)$ 在 $I$ 上无界
• 连续性：
  • 连续：$\exists\ \delta >0\ ,U(x_0,\delta) \subseteq I\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \Rightarrow f(x)$ 在点 $x_0$ 连续
  • 连续点：$\exists\ \delta >0\ ,U(x_0,\delta) \subseteq I\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \Rightarrow x_0$ 为 $f(x)$ 的连续点
  • 左连续：$\exists\ \delta >0\ ,U(x_0,\delta) \subseteq I\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0) \Rightarrow f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续
  • 右连续：$\exists\ \delta >0\ ,U(x_0,\delta) \subseteq I\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0) \Rightarrow f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续
  • 开区间连续：$\forall\ x \in (a,b)$ ，$f(x)$ 连续 $\Rightarrow f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续
  • 闭区间连续：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，在点 $a$ 右连续，在点 $b$ 左连续 $\Rightarrow f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  • 间断点：（三选一）
    1. $x_0 \notin I$
    2. $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$ 不存在
    3. 满足上述两条，但 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \neq f(x_0)$
  • 第一类间断点：
    • 可去间断点：$x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)$ ，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)$ 存在，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x) \neq \lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x) \Rightarrow x_0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点
    • 跳跃间断点：$x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)$ ，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)$ 存在，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x) \neq \lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x) \Rightarrow x_0$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点
  • 第二类间断点：$x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)$ ，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)$ 不都存在，$\Rightarrow x_0$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点

常见函数（初等函数）

• 初等函数:基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算得到的可以用一个数学式表达的函数
• 基本初等函数：
  • 常数函数 $f(x)=C\ ,I={\mathbb R}\ \small(C\ is\ const \small)$
  • 幂函数 $f(x)=x^{\alpha}\ ,I={\mathbb R}_+\ \small(\alpha\ is\ const)$
  • 指数函数 $f(x)=a^x\ ,I={\mathbb R}\ \small(a \in {\mathbb R}_+-\{1\} \small)$
  • 对数函数 $f(x)=\log_ax\ ,I={\mathbb R}_+ \small(a \in {\mathbb R}_+-\{1\} \small)$
  • 三角函数
    • 正弦函数 $f(x)=\sin x\ ,I={\mathbb R}$
    • 余弦函数 $f(x)=\cos x\ ,I={\mathbb R}$
    • 正切函数 $f(x)=\tan x\ ,I={\mathbb R}-\{x\big|x=\frac \pi 2+k\pi,k \in Z\}$
    • 余切函数 $f(x)=\cot x\ ,I={\mathbb R}-\{x\big|x=k\pi,k \in Z\}$
    • 正割函数 $f(x)=\sec x\ ,I={\mathbb R}-\{x\big|x=\frac \pi 2+k\pi,k \in Z\}$
    • 余割函数 $f(x)=\csc x\ ,I={\mathbb R}-\{x\big|x=k\pi,k \in Z\}$
  • 反三角函数
    • 反正弦函数 $f(x)={\rm asin}\ x\ ,I=[-1,1]$
    • 反余弦函数 $f(x)={\rm acos}\ x\ ,I=[-1,1]$
    • 反正切函数 $f(x)={\rm atan}\ x\ ,I={\mathbb R}$
    • 反余切函数 $f(x)={\rm acot}\ x\ ,I={\mathbb R}$
    • 反正割函数 $f(x)={\rm asec}\ x\ ,I={\mathbb R}-(-1,1)$
    • 反余割函数 $f(x)={\rm acsc}\ x\ ,I={\mathbb R}-(-1,1)$
• 双曲函数
  • 双曲正弦函数 $f(x)=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2\ ,I={\mathbb R}$
  • 双曲余弦函数 $f(x)=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2\ ,I={\mathbb R}$
  • 双曲正切函数 $f(x)=\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\ ,I={\mathbb R}$
  • 双曲余切函数 $f(x)=\coth x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}\ ,I={\mathbb R}$
  • 双曲正割函数 $f(x)={\rm sech}\ x=\frac2{e^x+e^{-x}}\ ,I={\mathbb R}$
  • 双曲余割函数 $f(x)={\rm csch}\ x=\frac2{e^x-e^{-x}}\ ,I={\mathbb R}-\{0\}$
• 反双曲函数
  • 双曲正弦函数 $f(x)={\rm asinh}\ x\ ,I={\mathbb R}$
  • 双曲余弦函数 $f(x)={\rm acosh}\ x\ ,I=[1,+\infty)$
  • 双曲正切函数 $f(x)={\rm atanh}\ x\ ,I=(-1,1)$
  • 双曲余切函数 $f(x)={\rm acoth}\ x\ ,I={\mathbb R}-[-1,1]$
  • 双曲正割函数 $f(x)={\rm asech}\ x\ ,I=(0,1]$
  • 双曲余割函数 $f(x)={\rm acsch}\ x\ ,I={\mathbb R}-\{0\}$
• 特殊函数
  • 绝对值函数：$f(x)=|x|\ ,I={\mathbb R}$
  • 符号函数：$f(x)={\rm sgn}\ x=\frac{|x|}x(规定 \frac00=0)\ ,I={\mathbb R}$
  • 向下取整函数：$f(x)=\lfloor x\rfloor \ ,I={\mathbb R}$
  • 向上取整函数：$f(x)=\lceil x\rceil\ ,I={\mathbb R}$
  • 四舍五入取整函数：$f(x)=[x]\ ,I={\mathbb R}$

极限

数列极限

• 定义：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=C$ 或 $a_n \rightarrow C\ \small(n \rightarrow \infty \small)$
  • 极限存在：$\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ N>0\ ,\forall\ n>N\ ,|a_n-C|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}$ 的极限存在
  • 极限：$\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ N>0\ ,\forall\ n>N\ ,|a_n-C|<\varepsilon \Rightarrow C$ 为 $\{a_n\}$ 的极限
  • 收敛数列：$\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ N>0\ ,\forall\ n>N\ ,|a_n-C|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}$ 为收敛数列
  • 收敛：$\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ N>0\ ,\forall\ n>N\ ,|a_n-C|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}$ 收敛
  • 发散数列：$\exists\ \varepsilon >0\ , \forall\ N>0\ ,\exists\ n>N\ ,|a_n-C|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}$ 为发散数列
  • 发散：$\exists\ \varepsilon >0\ , \forall\ N>0\ ,\exists\ n>N\ ,|a_n-C|<\varepsilon \Rightarrow \{a_n\}$ 发散
• 性质：
  • 唯一性：$\{a_n\}$ 收敛 $\Rightarrow \{a_n\}$ 极限唯一
  • 有界性：$\{a_n\}$ 收敛 $\Rightarrow \{a_n\}$ 有界
    • 确界存在定理：任一有上/下界的非空实数集 $A$ 必有上/下确界
      • 上确界：$\sup A$
        • $\forall x \in A,x \leq \sup A$
        • $\forall \varepsilon>0,\exists x_0 \in A,x_0>\sup A-\varepsilon$
      • 下确界：$\inf A$
        • $\forall x \in A,x \geq \inf A$
        • $\forall \varepsilon>0,\exists x_0 \in A,x_0<\inf A+\varepsilon$
  • 保序性：$\{a_n\},\{b_n\}$ 收敛，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=A\ ,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n=B\ ,\exists\ N>0\ ,\forall\ n>N\ , a_n<b_n$ $\Rightarrow A \leq B$
  • 子列的收敛性：$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=C \Leftrightarrow \forall\ \{a'_n\}$ 为 ${a_n}$ 子列，$\{a'_n\}$ 收敛，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a'_n=C$
• 计算：
  • 加减法：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(a_n \pm b_n)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n+\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n$
  • 数乘：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}Ca_n=C\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$
  • 乘法：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_nb_n=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n$
  • 除法：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n \over b_n}={\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n \over \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n}\ (\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n \neq 0\ ,b_n \neq 0)$
• 判定：
  • 极限存在准则 $\Iota$（夹逼定理）：
    1. $\{a_n\}\ , \{b_n\}\ ,\{c_n\}$ 为数列
    2. $b_n \leq a_n \leq c_n$
    3. $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n=C$
       $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$ 存在且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=C$
  • 极限存在准则 $\Iota\Iota$ （单调有界定理）：
    • $\{a_n\}$ 单调递增且有上界 $M$ $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$ 存在且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=C \leq M$
    • $\{a_n\}$ 单调递减且有下界 $L$ $\Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$ 存在且 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=C \geq L$
  • 子数列与数列极限的归并原理：$\lim_{n \rightarrow \infty}a_n=C \Leftrightarrow \forall\ \{a'_n\}$ 为 ${a_n}$ 子列，$\{a'_n\}$ 收敛，$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a'_n=C$
    • 使用方法：奇数项子列和偶数项子列分别求极限，判断两者是否相等
  • Cauthy 收敛原理：$\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$ 为 Cauthy 数列
    • Cauthy 数列：$\forall \varepsilon>0,\exists N \in \N_+,\ {\sf s.t.}\forall m,n>N, |a_m-a_n|<\varepsilon$
    • 前置定理：$Weirstrass 定理
      • 内容：有界实数列必有收敛子列
      • 用途：证明数列的极限点就是它的极限（Cauthy 收敛原理前置定理）
      • 前置定理：闭区间套定理
        • 闭区间套：$\{[a_n,b_n]\}$ 满足以下条件
          • $\forall n \in \N_+,[a_{n+1},b_{n+1}] \subseteq [a_n,b_n]$
          • $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(b_n-a_n)=0$
        • 内容：任何闭区间套必有唯一的公共点，即存在唯一的 $\xi \in \R,\ {\sf s.t.} \bigcap\limits_{i=1}^\infty [a_i,b_i]=\{\xi\}$

函数极限

• 定义：(泛指极限 $\lim f(x)=C$)
  • 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的极限：$\exists\ \delta>0\ ,\mathring U(x_0,\delta) \subseteq {\rm d}:\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ \delta>0\ ,\forall\ x \in \mathring U(x_0,\delta)\ ,|f(x)-C|<\varepsilon \Rightarrow C$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=C$ 或 $f(x) \rightarrow C\ \small(x \rightarrow x_0 \small)$
  • 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的左极限：$\exists\ \delta>0\ ,\mathring U(x_0,\delta) \subseteq {\rm d}:\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ \delta>0\ ,\forall\ x \in (x_0-\delta),|f(x)-C|<\varepsilon \Rightarrow C$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的左极限
  • 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的右极限：$\exists\ \delta>0\ ,\mathring U(x_0,\delta) \subseteq {\rm d}:\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ \delta>0\ ,\forall\ x \in (x_0,x_0+\delta),|f(x)-C|<\varepsilon \Rightarrow C$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的右极限
  • 当 $x$ 趋向于 $\infty$ 时的极限：$\exists\ X>0\ ,R-[-X,X] \subseteq {\rm d}:\forall\ \varepsilon >0\ , \exists\ X>0\ ,\forall\ |x|>X ,|f(x)-C|<\varepsilon \Rightarrow C$ 为 $f(x)$ 当 $x$ 趋向于 $\infty$ 时的极限 $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}f(x)=C$ 或 $f(x) \rightarrow C\ \small(x \rightarrow \infty \small)$
• 性质：
  • 唯一性：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$ 存在 $\Rightarrow f(x)$ 极限唯一
  • 局部有界性：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$ 存在 $\Rightarrow \exists\ \delta >0\ ,f(x)$ 在 $\mathring U(x_0,\delta)$ 有界
  • 局部保序性1：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)$ 存在，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=A\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=B:\exists\ \delta>0\ ,\forall\ x \in \mathring U(x_0,\delta)\ , f(x) \leq g(x)$ $\Rightarrow A \leq B$
  • 局部保序性2：在 $x$ 的某一变化区间内 $f(x)<g(x)\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=A\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=B \ \Rightarrow A \leq B$
  • 局部保号性：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$ 存在，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=A\ :\exists\ \delta>0\ ,\forall\ x \in \mathring U(x_0,\delta)\ , f(x) \leq 0$ $\Rightarrow A \leq 0$
  • 函数极限与数列极限的关系：$\mathring U(x_0,\delta) \subseteq {\rm d}:\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=C \Leftrightarrow \forall\ \{x_n\}\ ,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=x_0\ ,x_n \neq x_0\ ,\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f(x_n)=C$
• 计算：
  • 加减法：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f(x) \pm g(x))=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)+\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)$
  • 数乘：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}Cf(x)=C\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$
  • 乘法：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)$
  • 除法：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x) \neq 0:\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f(x) \over g(x)}={\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \over \lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)}$
  • 乘方：$n \in N^*:\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)^n=(\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x))^n$
  • 开根：$f(x) \geq 0\ ,\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x) \geq 0\ ,n \in N^*:\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)}$
  • 复合：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=A\ ,\exists\ \delta >0\ ,\forall\ x \in \mathring U(x_0,\delta)\ ,g(x) \neq B:\lim\limits_{x \rightarrow x_0}(f \circ g)(x)=\lim\limits_{x \rightarrow B}f(x)=A$
• 判定：
  • 极限判定定理：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=C \Leftrightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=C$
  • 极限存在准则 $\Iota$（夹逼定理）：
    1. $\exists\ \delta >0\ ,\mathring U(x_0,\delta) \subseteq {\rm d}_f,{\rm d}_g,{\rm d}_h$
    2. $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$
    3. $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}h(x)=C$
       $\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$ 存在且 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=C$
  • 极限存在准则 $\Iota\Iota$ ：
    • $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调有界 $\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a^+}f(x)\ ,\lim\limits_{x \rightarrow b^-}f(x)$ 存在

分式化简

微分中值定理

• 定义：
  • 驻点（稳定点）：满足 $f'(x_0)=0$ 的点 $x_0$
  • 极大（小）值点：$\exists\ \delta \in R\ ,\forall\ x \in U(x_0,\delta)\ ,f(x_0) \geq f(x)$（ $f(x_0) \leq f(x)$ ）$\Rightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 取得极大（小）值，$x_0$ 为 $f(x)$ 的极大（小）值点
  • 极值点：极大值点 $+$ 极小值点
• 费马定理：
  1. $\exists\ \delta \in R\ ,\forall\ x \in U(x_0,\delta)\ ,f(x)$ 有定义
  2. $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值且可导
     $\Rightarrow f'(x_0)=0$
• 罗尔定理：
  1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导
  3. $f(a)=f(b)$
     $\Rightarrow \exists\ \xi \in (a,b)$ ，$f'(\xi)=0$
• 拉格朗日中值定理：
  1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导
     $\Rightarrow \exists\ \xi \in (a,b)$ ，$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  • 推论：
    1. 若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导，且 $f'(x)=0$，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上为常数
    2. 若函数 $f(x)$ ，$g(x)$ 在区间 $I$ 上均可导，且 $f'(x)=g'(x)$ ，则 $f(x)$ 与 $g(x)$ 相差一个常数
• 柯西中值定理：
  1. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
  2. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导
  3. 对任何 $x \in (a,b)$ ，$g'(x) \neq 0$
     $\Rightarrow \exists\ \xi \in (a,b)\ ,\ \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

泰勒公式

• 泰勒多项式：$f(x)$ 在 $x_0$ 点存在直到 $n$ 阶导数：$T_{n,x_0}(x)=\sum\limits_{i=0}^n {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i$
• 泰勒系数：$\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\ (k \in [0,n]\ \wedge\ k \in N)$
• 麦克劳林公式：$M_n(x)=T_{n,0}(x)=\sum\limits_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}$
• 余项：$R_{n,x_0}(x)=f(x)-T_n(x)$
• 佩亚诺型余项：$R_{n,x_0}(x)=\omicron ((x-x_0)^n)$
• 拉格朗日余项：$R_{n,x_0}(x)={f^{(n+1)}(\xi) \over (n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

洛必达法则

1. $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}g(x)=0$
2. $\exists\ \delta \in R\ , \forall\ x \in \mathring U (x_0,\delta)$ ，$f(x),g(x)$可导
3. $g'(x_0) \neq 0$
4. $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}=C$（$C \in R \cup \{\pm \infty ,\infty \}$ ）
   $\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f(x) \over g(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow x_0} {f'(x) \over g'(x)}=C$

导数

计算

• $[f(x) \pm g(x)]'=f'(x) \pm g'(x)$
• $[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$
  • $[Cf(x)]'=Cf'(x)$
  • $[{f(x) \over g(x)}]'={f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\over g^2(x)}$
    • $[\frac 1{g(x)}]'=-{g'(x) \over g^2(x)}$
• $(f^{-1})'(x)=\frac 1{(f' \circ f^{-1})(x)}$
• $(f \circ g)'(x)=(f' \circ g)(x)g'(x)$
• 高阶导数：
  • $[f(x) \pm g(x)]^{(n)}=f^{(n)}(x) \pm g^{(n)}(x)$
    • $[Cf(x)]^{(n)}=Cf^{(n)}(x)$
  • $[f(x)g(x)]^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^n \binom ni f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$

微分

计算

• ${\rm d}(u \pm v)={\rm d}u \pm {\rm d}v$
  • ${\rm d}(Cu)=C{\rm d}u$
  • ${{\rm d}(u \pm v) \over {\rm d}x}={{\rm d}u \over {\rm d}x} \pm {{\rm d}v \over {\rm d}x}$
• ${\rm d}(uv)=u{\rm d}v+v{\rm d}u$
  • ${{\rm d}(uv) \over {\rm d}x}=u{{\rm d}v \over {\rm d}x}+v{{\rm d}u \over {\rm d}x}$
• ${{\rm d}u \over {\rm d}x}={{\rm d}u \over {\rm d}v}{{\rm d}v \over {\rm d}x}$
• 高阶微分：
  • ${\rm d}^n(u \pm v)={\rm d}^nu \pm {\rm d}^nv$
    • ${\rm d}^n(Cu)=C{\rm d}^nu$
    • ${{\rm d}^n(u \pm v) \over {\rm d}x^n}={{\rm d}^nu \over {\rm d}x^n} \pm {{\rm d}^nv \over {\rm d}x^n}$
  • ${\rm d}^n(uv)=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni {\rm d}^{n-i}u {\rm d}^iv$
    • ${{\rm d}^n(uv) \over {\rm d}x^n}=\sum\limits_{i=0}^n\binom ni {{\rm d}^{n-i}u \over {\rm d}x^{n-i}} {{\rm d}^iv \over {\rm d}x^i}$

不定积分

定义

• 原函数： $x \in I$ ：$F'(x)=f(x) \Rightarrow F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数
• 不定积分： $x \in I$ ：$\int f(x){\rm d}x=\{\ F(x)\ |\ F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数 $\}=F(x)+C\ ,C \in C$

判定

原函数存在性判定：$x \in I$ ：$f(x)$ 连续 $\Rightarrow f(x)$ 存在原函数

计算（积分法）

1. 第一换元积分法： $\int f(u){\rm d}u=F(u)+C$ ：$u=g(x)连续可微 \Rightarrow \int (f \circ g)(x)g'(x){\rm d}x=\int (f \circ g)(x) {\rm d}g(x)=\int f(u){\rm d}u=F(u)+C=(F \circ g)(x)+C$
2. 第二换元积分法： $f(x)$ 连续，$x=x(t)$ 连续可微，$x=x(t)$ 存在反函数 $t=t(x)$ ：$\int (f \circ x)(t)x'(t){\rm d}t=F(t)+C \Rightarrow \int f(x){\rm d}x=\int (f \circ x)(t)x'(t){\rm d}t=F(t)+C=(F \circ t)(x)+C$
3. 分部积分法：
   导数形式：$u(x)$ 可导，$v(x)$ 可积：$u'(x)\int v(x)$ 存在原函数 $\Rightarrow$ $u(x)v(x)$ 存在原函数，$\int u(x)v(x){\rm d}x=u(x)\int v(x)\ {\rm d}x-\int u'(x)\int v(x){\rm d}x\ {\rm d}x$
   微分形式：${{\rm d}u \over {\rm d}x},{{\rm d}v \over {\rm d}x}$存在，$v(x){{\rm d}(u(x)) \over {\rm d}x}$ 存在原函数 $\Rightarrow$ $u(x){{\rm d}(v(x))\over {\rm d}x}$ 存在原函数，$\int u(x){\rm d}(v(x))=u(x)v(x)-\int v(x){\rm d}(u(x))$
   (一边求导降次，一边积分不升次=>可用分部积分)
   (反对幂指三)(前面的优先设为u(x))
4. 有理函数积分：

• 定义：$R(x)={P(x) \over Q(x)}$
• 前置结论：
  1. 任何一个实多项式都可以拆成若干个一次因式和 $\delta<0$ 的二次因式的积
  2. 任何一个有理函数都可以拆成有限个 $F_a(x)={A_1 \over x-a},F_{a,m}(x)={A_m \over (x-a)^m},F_{p,q}(x)={B_1x+C_1 \over x^2+px+q}$ 和 $F_{p,q,m}(x)={B_mx+C_m \over (x^2+px+q)^m}\ (p^2-4q<0)$ 的和
• 计算：
  $$\begin{array}{l} \begin{align} \int R(x){\rm d}x&=\int {P(x) \over Q(x)}{\rm d}x \hspace{100cm}\\ &=\sum\limits_a\int F_a(x){\rm d}x+\sum\limits_a\sum\limits_m\int F_{a,m}(x){\rm d}x+\sum\limits_{p,q}\int F_{p,q}(x){\rm d}x+\sum\limits_{p,q}\sum\limits_m\int F_{p,q,m}(x){\rm d}x\\ \ \\ \int F_a(x){\rm d}x&=\int {A_1 \over x-a}=A_1\int (x-a)^{-1}{\rm d}x=A_1\ln|x-a|+C\\ \ \\ \int F_{a,m}(x){\rm d}x&=\int {A_m \over(x-a)^m}=A_m\int (x-a)^{-m}{\rm d}x={A_m \over 1-m}(x-a)^{1-m}+C\\ \ \\ \int F_{p,q}(x){\rm d}x&=\int {B_1x+C_1 \over x^2+px+q}{\rm d}x\\ &=\int {B_1x+C_1 \over (x-h)^2+k^2}{\rm d}x(h=-\frac p2,k=\sqrt{q-\frac{p^2}4})\\ &=\int {B_1(x-h)+(C_1+B_1h) \over (x-h)^2+k^2}{\rm d}(x+h)\\ &=B_1\int t(t^2+k^2)^{-1}{\rm d}t+(C_1+B_1h)\int (t^2+k^2)^{-1}{\rm d}t(t=x-h)\\ &=\frac{B_1}2\int (t^2+k^2)^{-1}{\rm d}(t^2+k^2)+\frac{C_1+B_1h}k\int((\frac tk)^2+1)^{-1}{\rm d}(\frac tk)\\ &=\frac{B_1}2\ln(t^2+k^2)+\frac{C_1+B_1h}katan\frac tk+C\\ &=\frac{B_1}2\ln(x^2+px+q)+{2C_1-B_1p \over \sqrt{4q-p^2}}atan{2x-p \over \sqrt{4q-p^2}}+C\\ \int F_{p,q,m}(x){\rm d}x&={B_mx+C_m \over (x^2+px+q)^m}\\ &=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}(t^2+k^2)+(C_m+B_mh)\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}t(t=x-h,h=-\frac p2,k=\sqrt{q-\frac{p^2}4})\\ &=G_{m,k}(t)+H_{m,k}(t)\\ \ \\ G_{m,k}(t)&=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}(t^2+k^2)={B_m \over 2(1-m)}(t^2+k^2)^{1-m}+C\\ \ \\ H_{m,k}(t)&=\frac{B_m}2\int(t^2+k^2)^{-m}{\rm d}t=\frac x{2(m-1)(t^2+k^2)^{m-1}}+k^{-2}(1-\frac 1{2(m-1)})H_{m-1,k}(t)(H_{1,k}(x)=\frac{C_1+B_1h}katan\frac tk+C) \end{align}$$
  • 换元->分部->降次+通式->通式

1. 三角有理函数积分：
   • $t=\tan \frac x2,\sin x={2t \over 1+t^2},\cos x={1-t^2 \over 1+t^2}$
2. 无理函数积分
   • 含 $\sqrt[n]{ax+b \over cx+{\rm d}}:t=\sqrt[n]{ax+b \over cx+{\rm d}}$
   • 含 $\sqrt{ax^2+bx+c}:\sqrt{ax^2+bx+c}\ \Rightarrow \sqrt{a(x-h)^2+k}\ \Rightarrow$ 反三角函数的导数

定积分

定义

• (曲边梯形：$f(x) \geq 0$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数：$y=f(x),x=a,x=b,y=0$ 四条线围城的平面图形称为曲边梯形)
• 定积分/黎曼积分：$[a,b] \subseteq I_f,\forall\ \{x_i\}_{n+1}$ 满足 $a=x_1,x_i<x_{i+1}(i \in [1,n]),x_{n+1}=b \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\delta x_i (i \in [1,n],\xi_i \in [x_i,x_{i+1}],\delta x_i=x_{i+1}-x_i,\lambda=\max\limits_{i=1}^n\delta x_i)$ 称为 $f(x)$ 的定积分/黎曼积分
  • 被积函数：$f(x)$
  • 被积表达式：$f(x){\rm d}x$
  • 积分变量：$x$
  • 积分下限：$a$
  • 积分上限：$b$
  • 积分区间：$[a,b]$
  • 介点：$\xi_i$
  • 积分和/黎曼和：$\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\delta x_i$
• 变上限积分：$\Phi(x)=\int_a^xf(t){\rm d}t,x \in [a,b]$
• 变下限积分：$\psi(x)=\int_x^bf(t){\rm d}t,x \in [a,b]$

性质

• $\int_a^af(x){\rm d}x=0$
• $\int_b^af(x){\rm d}x=-\int_a^bf(x){\rm d}x$
• $\int_a^bkf(x){\rm d}x=k\int_a^bf(x){\rm d}x$
• $\int_a^b(f(x) \pm g(x)){\rm d}x=\int_a^bf(x){\rm d}x \pm \int_a^bg(x){\rm d}x$
• $\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_a^cf(x){\rm d}x+\int_c^bf(x){\rm d}x$
• $\forall\ x \in [a,b],f(x)=1 \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x=b-a$
• $f(x) \geq 0 \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x \geq 0$
  • $f(x) \geq g(x) \Rightarrow \int_a^bf(x){\rm d}x \geq \int_a^bg(x){\rm d}x$
  • $|\int_a^b f(x){\rm d}x| \leq \int_a^b|f(x)|{\rm d}x (a<b)$
• $m=\min\limits_{x \in [a,b]}f(x),M=\max\limits_{x \in [a,b]}f(x):m(b-a) \leq \int_a^bf(x){\rm d}x \leq M(b-a)$
• $f(x)$ 在$[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a,b]$上可积且不变号 $\Rightarrow \exists\ \xi \in [a,b],\int_a^bf(x)g(x){\rm d}x=f(\xi)\int_a^bg(x){\rm d}x$

判定

• $\lambda \rightarrow 0,\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\delta x_i$ 存在 $\Rightarrow f(x)$ 可积
• ${\rm d}(x)$ 不可积
• $f(x)$ 可积 $\Rightarrow f(x)$ 有界

计算方法

• 微积分学基本定理：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续 $\Rightarrow \Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $\Phi'(x)=\frac {\rm d}{{\rm d}x}\int_a^bf(t){\rm d}t=f(x)$
• 牛顿-莱布尼茨公式：
  • 形式一：$\int_a^bf(x){\rm d}x=\int f(b){\rm d}x-\int f(a){\rm d}x$
  • 形式二：$\int_a^bf(x){\rm d}x=\int f(x){\rm d}x|_a^b$
• 换元法：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$x=g(t)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导函数：$\int_a^bf(x){\rm d}x=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}(f \circ g)(t)g'(t){\rm d}t$
• 分部积分法：
  • 导数形式：$\int_a^bu(x)v'(x){\rm d}x=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x){\rm d}x$
  • 微分形式：$\int_a^bu(x){\rm d}(v(x))=u(x)v(x)\big|_a^b-\int_a^bv(x){\rm d}(u(x))$

反常积分

无穷限反常积分

• 无穷限反常积分：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 的任意有限子区间 $[a,u]$ 内可积，且 $\lim\limits_{u \rightarrow +\infty}\int_a^uf(x){\rm d}x=J$ 存在：$J=\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x$
  (类似 $\int_{-\infty}^bf(x){\rm d}x=\lim\limits_{u \rightarrow -\infty}\int_u^bf(x){\rm d}x,\int_{-\infty}^{+\infty}f(x){\rm d}x=\int_{-\infty}^af(x){\rm d}x+\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x$ )
• 反常积分存在 $\Leftrightarrow$ 反常积分收敛

微分方程

基础定义

• 微分方程：含有自变量、未知函数及其导数或微分的方程
  • 常微分方程：只含一个自变量的微分方程
  • 偏微分方程：含有多个自变量的微分方程
  • 微分方程的阶：微分方程中出现的导数的最高阶数
  • 线性微分方程：$\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_{n-i}(x)y^{(i)}+y^{(n)}=f(x)$
    • 齐次线性微分方程：$f(x) \equiv 0$ 的线性微分方程（否则为非齐次）
  • 常系数微分方程：未知函数或其导数的系数不依赖于自变量的微分方程
  • 变系数微分方程：未知函数或其导数的系数依赖于自变量的微分方程
  • 微分方程的解：代入后能使微分方程成为恒等式的函数
• 微分算子：$L=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_{n-i}(x){{\rm d}^i \over {\rm d}x^i}+{{\rm d}^n \over {\rm d}x^n}$
  • $L[ky]=kL[y],L[y_1+y_2]=L[y_1]+L[y_2]$

解法

• 一阶微分方程(${{\rm d}y \over {\rm d}x}=f(x,y)$)：
  • 分离变量法：${{\rm d}y \over {\rm d}x}=f(x,y) \Rightarrow \psi(y){\rm d}y=\phi(x){\rm d}x \Rightarrow \Psi(y)=\Phi(x)+C$
    （要求 $f(x,y)$ 可被分解为 $M(x)N(y)$ 的形式）
    • 特殊形式（可通过换元分离变量）：
      • 齐次方程：${{\rm d}y \over {\rm d}x}=f(\frac yx)$ $(let\ u=\frac yx:y=ux,{{\rm d}y \over {\rm d}x}=u+x{{\rm d}u \over {\rm d}x},{{\rm d}u \over {\rm d}x}={f(u)-u \over x})$
        (其他可以化为齐次方程的形式：${{\rm d}y \over {\rm d}x}=f({a_1x+b_1y+C_1 \over a_2x+b_2y+C_2})$（上下$\frac ab$相等时令 $u=ax+by$ ,否则换元消掉常数$C$后上下同除x即可变为齐次方程）)
  • ${{\rm d}^2y \over {\rm d}x^2}=f(x,{{\rm d}y \over {\rm d}x})$ 型：换元 $u={{\rm d}y \over {\rm d}x}$,按 ${{\rm d}y \over {\rm d}x}=f(x,y)$ 型求，最后积分
  • ${{\rm d}^2y \over {\rm d}x^2}=f(y,{{\rm d}y \over {\rm d}x})$ 型：令 ${{\rm d}y \over {\rm d}x}=q$ ，则 ${{\rm d}^2y \over {\rm d}x^2}=q{{\rm d}q \over {\rm d}y},{{\rm d}q \over {\rm d}y}={f(y,q) \over q}$
  • $y^{(n)}=f(x)$ 型：不断积分得 $y=(\int {\rm d}x)^nf(x)+\sum\limits_{i=0}^{n-1}{C_{n-i} \over i!}x^i$
• 线性微分方程：$\sum\limits_{i=0}^{n-1} a_i(x)y^{(i)}+y^{(n)}=f(x)$
  • n阶齐次线性微分方程：求出n个线性无关解 ${y_i(x)}_n$ ,则通解为 $y=\sum\limits_{i=1}^n C_iy_i(x)$
  • n阶非齐次线性微分方程：求出对应齐次线性微分方程的通解和原方程的一个特解加和即可
  • 一阶线性微分方程 $y'+P(x)y=Q(x)$ 解法：
    • ${\sf if}\ Q(x) \equiv 0$: 分离变量法 $\Rightarrow y=Ce^{-\int P(x){\rm d}x}$
    • $\sf else$: 常数变易法
      (${\sf let}\ y=C(x)e^{-\int P(x){\rm d}x}$，求导后对应相等得
      $y=Ce^{-\int P(x){\rm d}x}+e^{-\int P(x){\rm d}x}\int Q(x)e^{\int P(x){\rm d}x}{\rm d}x$
      前半部分为齐次线性微分方程通解，后半部分为非齐次线性微分方程特解)
    • 特殊形式：
      • Bernoulli方程：$y'+P(x)y=Q(x)y^n \Rightarrow y^{-n}y'+P(x)y^{1-n}=Q(x) \Rightarrow \frac1{1-n}(y^{1-n})'+P(x)y^{1-n}=Q(x)$
  • 二阶线性微分方程：
    • 齐次（$y''+p(x)y'+q(x)y=0$）: $y_2(x)=y_1(x)\int\frac1{y_1^2(x)}e^{-\int p(x){\rm d}x}{\rm d}x$(刘维尔公式)
    • 非齐次：常数变易法（令 $y=C_1(x)y_1(x)+C_2(x)y_2(x)$ 求解得 $C_1(x)=\int({-y_2(x)f(x) \over W}){\rm d}x+{\rm d}_1,C_2(x)=\int({-y_1(x)f(x) \over W}){\rm d}x+{\rm d}_2$ 代入即可）
  • 常系数齐次线性微分方程：
    • 二阶：令 $\phi(r)=r^2+pr+q$ (特征多项式):
      • 若 $\delta>0,y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
      • 若 $\delta=0,y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}$
      • 若 $\delta<0,r=\alpha \pm i\beta,y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
    • n阶：
      • k重实根 $r:e^{rx}\sum\limits_{i=1}^kC_ix^{i-1}$
      • 共轭k重复根 $r=\alpha \pm i\beta:e^{\alpha x}[\cos\beta x\sum\limits_{i=1}^k C_ix^{i-1}+\sin\beta x\sum\limits_{i=1}^k {\rm d}_ix^{i-1}]$
  • 常系数非齐次线性微分方程：(特殊情况：$P_m(x),e^{\lambda x},\sin\beta x,\cos\beta x$)
    (本质：列出可能的项设参求导后对应相等)
    • $f(x)=P_m(x)$: 待定系数法对应相等
    • $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$: 设 $y^*=Q(x)e^{\lambda x}$，求 $Q''(x)+\phi'(\lambda)Q'(x)+\phi(\lambda)Q(x)=P_m(x)$ 的特解
    • $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\sin\beta x$ 或 $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)\cos\beta x$:复数换元
  • 常系数线性微分方程组：
    • (1) 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程
    • (2) 解次高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数
    • (3) 把已求得的函数代入原方程组（一般而言，不必经过积分就可求出其余的位置函数）
• 欧拉方程：$\sum\limits_{i=0}^{n-1}p_{n-i}x^{i}y^{(i)}+x^ny^{(n)}=f(x)$
  • 设 $t=\ln x,{\rm d}=\frac {\rm d}{{\rm d}t}，则 $x^ky^{(k)}={\rm d}^{\underline k}[y]$

多元函数

定义

• 坐标平面：建立了坐标系的平面
• 点：$\vec x=(a_i)_n$
• 平面点集：坐标平面上具有某种性质Q的点的集合
  • 邻域：$U(\vec x_0,\sigma)=\{\vec x|\ |\vec x\vec x_0|<\sigma\}$
    • 去心邻域：$\mathring U(\vec x_0,\sigma)=\{\vec x|0<|\vec x\vec x_0|<\sigma\}$
  • 内点：$\exists\ U(\vec x),U(\vec x) \subset I$
  • 外点：$\exists\ U(\vec x),U(\vec x) \cap I= \phi$
  • 边点：$\forall\ U(\vec x),U(\vec x) \cap I \neq \phi,\complement_{U(\vec x)} (U(\vec x) \cap I) \neq \phi)$
  • 聚点：$\forall\ \sigma>0,\mathring U(\vec x) \cap I \neq \phi$
  • 孤立点：$\exists\ \sigma>0,U(\vec x,\sigma) \cap I ={\vec x}$
  • 开集：$\forall\ \vec x \in I,\vec x$ 为内点
  • 闭集：$I$ 的余集为开集
  • 有界集：$\exists\ r>0,I \subset U(\vec O,r)$
  • 无界集：$I$ 不是有界集
  • 连通集：$\forall\ \vec x_1,\vec x_2 \in I,\vec x_1,\vec x_2$ 可以用折线连接起来的集合
  • （开）区域：连通的开集
  • 闭区域：开区域+边界
    • 边界：边点的集合
    • 边界的方向：设边界的切向量为 $\hat\tau$，其与边界交点为 $P_0$，则取满足 $\forall P \in I,\hat\tau \times \overrightarrow{P_0P}>0$ 的 $\hat\tau$ 的方向为边界的正方向（通常外边界为逆时针，内边界为顺时针）
• n维空间：$R^n=\prod_{i=2}^n R={x=(x_i)_n|x_i \in R,i \in N^* \cap [1,n]}$
  • 零元：$\vec O=(0)_n$
  • 与零元的距离：$||\vec x||=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}$
• 多元函数：$y=f(\vec x)$
  • 二元函数：$z=f(x,y)$

极限

• 定义：$\vec x \in I,\vec x_0$ 是 $I$ 的聚点：$\exists\ C, \forall\ \varepsilon>0,\exists\ \delta>0,\forall\ \vec x \in I \cap \mathring U(\vec x_0,\delta) |f(\vec x)-A|<\varepsilon \Rightarrow C$ 是 $f(\vec x)$ 当 $(\vec x \rightarrow \vec x_0$ 时的极限，记作 $\lim\limits_{\vec x \rightarrow \vec x_0} f(\vec x)=C$ 或 $f(\vec x)=C\ (\vec x \rightarrow \vec x_0)$，如此定义的极限称为 $f(\vec x)$ 在 $\vec x_0$ 处的 $n$ 重极限
  • 二元函数表示：$\lim\limits_{x \rightarrow x_0,y \rightarrow y_0}f(x,y)=C$
• 连续性：
  • 点的连续性：$\vec x \in I, \vec x_0 \in I,\vec x_0$ 是 $I$ 的聚点：$\lim\limits_{\vec x \rightarrow \vec x_0}f(\vec x)=f(\vec x_0) \Rightarrow f(\vec x)$ 在 $\vec x_0$ 点连续
  • 区域的连续性：$\forall\ \vec x_0 \in I,f(\vec x)$ 在 $\vec x_0$ 连续 $\Rightarrow f(\vec x)$ 在 $I$ 上连续
  • 连续函数性质：
    • 有界性与最值定理：有界闭区域 $I$ 上的多元函数必定在 $I$ 上有界，且能取得它的最大值和最小值
    • 介值定理：有界闭区域 $I$ 上的多远连续函必定取得介于最大值和最小值之间的任何值
    • 一致连续性定理：有界闭区域 $I$ 上的多元连续函数必定在 $I$ 上一致连续
• 可用计算方法：
  • 运算法则
  • 夹逼定理
  • 常用极限
  • 降维（用于证明极限不存在）
    • （不能只用直线逼近）（直线和曲线逼近结果不同，仅直线无法覆盖全部情况）

导数与微分

• 偏导数：
  • 定义：设函数 $y=f(\vec x)$ 在点 $\vec x_0$ 的某一邻域内有定义，当 $x_j(j \neq i)$ 固定在 $x_{j0}$ 而 $x_i$ 在 $x_i$ 处有增量 $\Delta x_i$ 时，函数相应地有增量 $f(x_{10},x_{20},...,x_i+\Delta x_i,...,x_{n0})-f(\vec x_0)$，若极限 $\lim\limits_{\Delta x_i \rightarrow 0} {f(x_{10},x_{20},...,x_i+\Delta x_i,...,x_{n0})-f(\vec x_0) \over \Delta x_i}$ 存在，则称次极限为函数 $y=f(\vec x)$ 在 $\vec x_0$ 处对变量 $x_i$ 的偏导数，记作 ${\partial y \over \partial x_i}|_{\vec x=\vec x_0},{\partial f \over \partial x_i}|_{\vec x=\vec x_0},y_{x_i}|_{\vec x=\vec x_0}$ 或 $f_{x_i}(\vec x)$
    • 二元函数表示方法：
      • ${\partial z \over \partial x}|_{x=x_0,y=y_0}={\partial f \over \partial x}|_{x=x_0,y=y_0},z_x|_{x=x_0,y=y_0}=f_x(x,y)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0) \over \Delta x}$
      • ${\partial z \over \partial y}|_{x=x_0,y=y_0}={\partial f \over \partial y}|_{x=x_0,y=y_0},z_y|_{x=x_0,y=y_0}=f_y(x,y)=\lim\limits_{\Delta y \rightarrow 0}{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) \over \Delta y}$
  • 偏导函数：$\forall\ \vec x \in I,f_{x_i}(\vec x)$ 存在 $\Rightarrow f_{x_i}(\vec x)$
  • 几何意义：在与对应坐标轴垂直的平面上函数在对应点的斜率
  • 与连续性关系：有 $x_i$ 偏导 $\Rightarrow$ 在对应平面上的函数连续（不能得出原函数连续）
  • 高阶偏导数（仅讨论二元函数）：
    • 定义：
      • ${\partial \over \partial x}({\partial z \over \partial x})={\partial^2 z \over \partial x^2}=f_{xx}(x,y)$
      • ${\partial \over \partial y}({\partial z \over \partial x})={\partial^2 z \over \partial x \partial y}=f_{xy}(x,y)$
      • ${\partial \over \partial x}({\partial z \over \partial y})={\partial^2 z \over \partial y \partial x}=f_{yx}(x,y)$
      • ${\partial \over \partial y}({\partial z \over \partial y})={\partial^2 z \over \partial y^2}=f_{yy}(x,y)$
    • 混合偏导数相等判定：${\partial^2 z \over \partial x\partial y},{\partial^2 z \over \partial y\partial x}$ 在 $I$ 上连续 $\Rightarrow {\partial^2 z \over \partial x\partial y}={\partial^2 z \over \partial y\partial x}$
  • 偏微分方程：含有多元函数偏导数的方程
• 全微分：
  • 定义：
    • 全增量：$\Delta y=\vec k \cdot \Delta\vec x+\omicron(||\Delta\vec x||)$，其中 $C_i$ 与 $\Delta\vec x$ 无关，仅与 $\vec x$ 有关
    • 全微分：${\rm d}y=\vec k \cdot \Delta\vec x$
    • 函数可微分 $\Leftrightarrow \lim\limits_{\Delta\vec x \rightarrow \vec 0}{\Delta y - \vec C \cdot \Delta\vec x \over ||\Delta\vec x||}=0$
  • 定理：
    • 函数可微分 $\Rightarrow$ 该函数各一阶偏导数均存在，$\vec k=({\partial y \over \partial x_i})_n$
    • 函数各一阶偏导数均存在且连续 $\Rightarrow$ 该函数可微分
  • 概念关系梳理：
  • 判断是否可微（仅考虑二元函数）：
    • ${\sf if}\ f(x,y)$ 在 $(x,y)$ 连续：
      • ${\sf if}\ f_x(x,y),f_y(x,y)$ 在 $(x,y)$ 存在：
        • ${\sf if}\ f_x(x,y),f_y(x,y)$ 在 $(x,y)$ 连续：
        • $\sf else$：
          • ${\sf if} \lim\limits_{\rho \rightarrow 0}{\Delta z-f_x(x,y)\Delta x-f_y(x,y)\Delta y \over \rho} \neq 0$：函数可微
          • $\sf else$：函数不可微
      • $\sf else$：函数不可微
    • $\sf else$：函数不可微
  • 应用：近似计算
• 多元函数链式求导法则：${{\rm d}y \over {\rm d}t}=\sum\limits_{i=1}^n {\partial y \over \partial x_i}{{\rm d}x_i \over {\rm d}t}$
  • 综合：${{\rm d}y \over {\rm d}\vec x}$
  • 总结：画链式图
    • 单链：导数，多链：偏导数
    • 一条链之间依次求导相乘
    • 各条链之间逐链相加
  • 一阶全微分的形式不变性（无论将 $x_i$ 看作自变量还是看作中间变量，函数 $y=f(\vec x)$ 的一阶全微分在形式上都一致，这种性质称为一阶全微分的形式不变性）
• 隐函数求导公式（隐函数存在定理）：
  1. 设函数 $F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0)=0,F_y(x,y) \neq 0$，则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$，满足条件 $y_0=f(x_0)$ 并有 ${{\rm d}y \over {\rm d}x}=-{F_x \over F_y}$
  2. 设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0,F_z(x,y,z_0) \neq 0$，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，满足条件 $z_0=f(x_0,y_0)$ 并有 ${\partial z \over \partial x}=-{F_x \over F_z},{\partial z \over \partial y}=-{F_y \over F_z}$
  3. 设 $F(x,y,u,v)$ 和 $G(x,y,u,v)$ 在点 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内具有对各个变量连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,u_0,v_0)=G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,J \neq 0$，则方程组 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0 \\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 在点 $(x_0,y_0,u_0,v_0)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 $\begin{cases}u=u(x,y) \\ v=v(x,y)\end{cases}$，满足条件 $\begin{cases} u_0=u(x_0,y_0) \\ v_0=v(x_0,y_0)\end{cases}$ 并有 $${\partial u \over \partial x}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (x,v)} \ {\partial v \over \partial x}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (u,x)} \ {\partial u \over \partial y}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (y,v)} \ {\partial v \over \partial y}=-\frac1J{\partial(F,G) \over \partial (u,y)}$$
     • 雅克比行列式：$J={\partial(F,G) \over \partial(u,v)}=\left|\begin{matrix}{\partial F \over \partial u} & {\partial F \over \partial v}\\ \\ {\partial G \over \partial u} & {\partial G \over \partial v}\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}F_u & F_v \\ G_u & G_v\end{matrix}\right|$
• 方向导数：设 $l$ 是以点 $P_0(\vec x_0)$ 为起点的一条射线，$y=f(\vec x)$ 在 $P_0$ 的某个邻域 $U(P_0)$ 内有定义，$P(\vec x_0+\rho\cos\vec\alpha)$ 为 $l$ 上一点且 $P \in U(P_0)$，若 $\frac{f(\vec x_0+\rho\cos\vec\alpha)-f(\vec x_0)}\rho$ 在 $P$ 沿着 $l$ 趋近于 $P_0$ （即 $\rho \rightarrow 0^+$）时存在极限，则称此极限为函数 $f(\vec x)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $l$ 的导数，记作 ${\partial f \over \partial l}(\vec x_0)=\lim\limits_{\rho \rightarrow 0^+} \frac{f(\vec x_0+\rho\cos\vec\alpha)-f(\vec x_0)}\rho$
  • 计算：${\partial f \over \partial l}(\vec x)=\sum\limits_{i=1}^n f_{x_i}(\vec x)\cos\alpha_i$
  • 与偏导数区别：方向导数是射线上的导数，偏导数是直线上的导数（两者没有必然关系）
• 梯度：设多元函数 $y=f(\vec x)$ 在平面区域 $I$ 内具有一阶连续偏导数，则对任一 $P_0(x_0,y_0) \in I$，都可以定义一个向量 $\sum\limits_{i=1}^n f_{x_i}(\vec x_0)\hat e_i$，该向量称为函数 $f(\vec x)$ 在点 $P_0$ 的梯度，记作 $\mathbf{grad}f(\vec x)$ 或 $\nabla f(\vec x)$
  • 与方向导数关系：${\partial f \over \partial l}(\vec x)=\nabla f(\vec x) \cdot \hat e_l$
• 极值：
  • 二元函数的泰勒中值定理：设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内连续且有直到 $(n+1)$ 阶的连续偏导数，$(x_0+h,y_0+k)$ 为此邻域内任一点，则有 $f(x_0+h,y_0+k)=\sum\limits_{i=0}^n \frac1{i!}(h{\partial \over \partial x}+k{\partial \over \partial y})^i f(x_0,y_0)+\frac1{(n+1)!}(h{\partial \over \partial x}+k{\partial \over \partial y})^{n+1} f(x_0+\theta h,y_0+\theta k)$
    • $(h {\partial \over \partial x}+k{\partial \over \partial y})^m f(x_0,y_0)=\sum\limits_{i=0}^m \binom mi h^ik^{m-i} {\partial^m f \over \partial x^i \partial y^{m-i}}|_{(x_0,y_0)}$
  • 极值：极大值与极小值的统称
    • 极大值：$\vec x_0 \in I,\exists U(\vec x_0) \subset I,\forall \vec x \neq \vec x_0 \land \vec P \in U(\vec x_0),f(\vec x) \leq f(\vec x_0) \Rightarrow f(\vec x)$ 在点 $\vec x_0$ 有极大值 $f(\vec x_0)$，称点 $\vec x_0$ 为 $f(\vec x)$ 的极大值点
    • 极大值：$\vec x_0 \in I,\exists U(\vec x_0) \subset I,\forall \vec x \neq \vec x_0 \land \vec P \in U(\vec x_0),f(\vec x) \geq f(\vec x_0) \Rightarrow f(\vec x)$ 在点 $\vec x_0$ 有极小值 $f(\vec x_0)$，称点 $\vec x_0$ 为 $f(\vec x)$ 的极小值点
  • 必要条件：$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可偏导，且在此处取得极值 $\Rightarrow f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$
  • 充分条件：$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0,f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$：
    • $AC-B^2>0$：$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处取得极值
      • $A<0$：极大值
      • $A>0$：极小值
    • $AC-B^2=0$：可能有极值，也可能没有极值
    • $AC-B^2<0$：$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处不取得极值
  • 求极值方法：
    1. 解方程组 $\begin{cases}f_x(x,y)=0 \\ f_y(x,y)=0\end{cases}$ ，求得一切驻点
    2. 对每个驻点求 $A=f_{xx}(x,y),B=f_{xy}(x,y),C=f_{yy}(x,y)$
    3. 计算 $AC-B^2$ 的值，判定 $f(x,y)$ 是否在该驻点取得极值
  • 条件极值：求函数 $f(\vec x)$ 在条件 $\bigwedge\limits_{i=1}^m [g_i(\vec x)=0]$ 下的极值
    • 目标函数：$f(\vec x)$
    • 约束条件：$\bigwedge\limits{i=1}^n g_i(\vec x)$
    • 解法：
      • 方法一：把条件极值转化为无条件极值
      • 方法二：拉格朗日乘数法（构造拉格朗日函数，联立拉格朗日方程组，求解即可得到目标极值点）
        • 二元函数+一个约束条件：
          • 拉格朗日函数：$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$
          • 拉格朗日方程组：$$
            \begin{cases}
            L_x(x,y,\lambda)=0\
            L_y(x,y,\lambda)=0\
            g(x,y)=0
            \end
          • 拉格朗日函数：$L(x,y,z,t,\lambda,\mu)=f(x,y,z,t)+\lambda g_1(x,y,z,t)+\mu g_2(x,y,z,t)$
          • 拉格朗日方程组：$$
            \begin{cases}
            L_x(x,y,z,t,\lambda,\mu)=0\
            L_y(x,y,z,t,\lambda,\mu)=0\
            L_z(x,y,z,t,\lambda,\mu)=0\
            L_t(x,y,z,t,\lambda,\mu)=0\
            g_1(x,y,z,t)=0
            g_2(x,y,z,t)=0
            \end

• 二重积分：
  • 定义：设 $f(x,y)$ 是平面有界闭区域 $I$ 上的有界函数，将闭区域 $I$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\{\Delta \sigma_i\}_n$，仍然用 $\Delta \sigma_i$ 表示其面积，在每个小区域 $\Delta\sigma_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i)$，作和式 $\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$。设 $\lambda$ 为这 $n$ 个小闭区域直径的最大值，当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，如果这个和式的极限总存在，那么称此极限值为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $I$ 上的二重积分，记作 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma$，即 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$
    • 区域的直径：区域上任意两点距离的最大值
    • 被积函数：$f(x,y)$
    • 被积表达式：$f(x,y){\rm d}\sigma$
    • 面积元素：${\rm d}\sigma$
    • 积分区域：$I$
    • 积分变量：$x,y$
    • 积分和：$\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta\sigma_i$
    • 几何意义：柱体体积
  • 性质：
    1. $\sigma=\iint_I {\rm d}\sigma$
    2. $\iint_I[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]{\rm d}\sigma=\alpha\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma+\beta\iint_I g(x,y){\rm d}\sigma$
    3. 如果闭区域 $I$ 被分成有限个部分闭区域，则在 $I$ 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分之和
    4. 在闭区域 $D$ 上 $f(x,y) \geq 0 \Rightarrow \iint_I f(x,y){\rm d}\sigma \geq 0$
       • 推论1：在闭区域 $D$ 上 $f(x,y) \geq g(x,y) \Rightarrow \iint_I f(x,y){\rm d}\sigma \geq \iint_I g(x,y){\rm d}\sigma$
       • 推论2：$|\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma| \leq \iint_I |f(x,y)|{\rm d}\sigma$
    5. 估值不等式：设在闭区域 $I$ 上有 $m \leq f(x,y) \leq M$，则 $m\sigma \leq \iint_I f(x,y){\rm d}\sigma \leq M\sigma$，其中 $\sigma$ 为闭区域 $I$ 的面积
    6. 二重积分的中值定理：设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $I$ 上连续，则在 $I$ 上至少存在一点 $(x_0,y_0)$，使得 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=f(x_0,y_0){\rm d}\sigma$，其中 $\sigma$ 为闭区域 $I$ 的面积
    7. 设有界闭区域 $I$ 关于 $x$ 轴对称，$I_1$ 为 $I$ 在 $x$ 轴上方部分：
       • 如果函数 $f(x,y)$ 关于变量 $y$ 为偶函数，即 $\forall\ (x,y) \in I,f(x,-y)=f(x,y)$，则 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=2\iint_{I_1} f(x,y){\rm d}\sigma$
       • 如果函数 $f(x,y)$ 关于变量 $y$ 为奇函数，即 $\forall\ (x,y) \in I,f(x,-y)=-f(x,y)$，则 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=0$
  • 计算方法：
    • 利用直角坐标计算二重积分：若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $I$ 上连续：
      • 如果积分区域 $I$ 上为 $X-$型区域：$\varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x),a \leq x \leq b$，则 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\int_a^b{\rm d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y){\rm d}y$
      • 如果积分区域 $I$ 上为 $Y-$型区域：$\psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y),c \leq y \leq d$，则 $\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\int_c^d{\rm d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y){\rm d}x$
    • 利用极坐标计算二重积分：$\begin{cases}x=\rho\cos\theta \\ y=\rho\sin\theta\end{cases}\varphi_1(\theta) \leq rho \leq \varphi_2(\theta),\alpha \leq \theta \leq \beta \Rightarrow \iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\int_\alpha^\beta{\rm d}\theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho{\rm d}\rho$
      • ${\rm d}\sigma={\rm d}\rho \cdot \rho{\rm d}\theta$
      • 特殊：
        • 曲边扇形：$\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\int_\alpha^\beta{\rm d}\theta \int_0^{\varphi(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho{\rm d}\rho$
        • $I$ 包含 $O$：$\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\int_0^{2\pi}{\rm d}\theta \int_0^{\varphi(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho{\rm d}\rho$
        • $I$ 在 $O$ 处与极轴相切：$\iint_I f(x,y){\rm d}\sigma=\int_0^\pi{\rm d}\theta \int_0^{\varphi(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho{\rm d}\rho$：
    • 二元函数的换元法：已知变换 $\begin{cases}x=x(u,v) \\ y=y(u,v)\end{cases}$ 是从 $uOv$ 平面上的闭区域 $I'$ 到 $xOy$ 平面上的闭区域 $I$ 的一一映射，函数 $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 在 $I'$ 上有一阶连续偏导数，且在 $I'$ 上雅克比行列式 $J(u,v)={\partial (x,y) \over \partial(u,v)} \neq 0$，若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_I f(x,y){\rm d}x{\rm d}y=\iint_{I'} f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|{\rm d}u{\rm d}v$
• 三重积分：
  • 定义：设 $f(x,y,z)$ 是空间有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数，将 $\Omega$ 任意分成 $n$ 个小闭区域 $\{\Delta V_i\}_n$，其中 $\Delta V_i$ 表示第 $i$ 个小闭区域，也表示它的体积。在每个 $\Delta V_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i,z_i)$，作和式 $\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i) \Delta V_i$，设 $\lambda=\max\limits_{i=1}^n\{ \Delta V_i$ 的直径 $\}$。如果当 $\lambda \rightarrow 0$ 时，上述和式的极限存在且极限值与 $\Omega$ 的分法和 $(x_i,y_i,z_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作 $\iiint_\Omega f(x,y,z){\rm d}V=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i){\rm d}V$
  • 性质：与二重积分类似
  • 计算方法：
    • 利用直角坐标计算三重积分：$\iiint_\Omega f(x,y,z){\rm d}V=\int_a^b{\rm d}x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)}{\rm d}y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z){\rm d}z$
    • 利用柱面坐标计算三重积分：$\iiint_\Omega f(x,y,z){\rm d}V=\iiint_\Omega f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)\rho{\rm d}\rho{\rm d}\theta{\rm d}z$
    • 利用球面坐标计算三重积分：$\iiint_\Omega f(x,y,z){\rm d}V=\iiint_\Omega f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi) r^2\sin\varphi {\rm d}r{\rm d}\varphi{\rm d}\theta$
• 含参变量的积分:
  • 定义：$\varphi(x)=\int_c^d f(x,y){\rm d}y$
  • 定理：
    • 设函数 $f(x,y)$ 在矩形闭区域 $I:a \leq x \leq b,c \leq y \leq d$ 上连续，则 $\varphi(x)=\int_a^b f(x,y){\rm d}y$ 在 $[a,b]$ 上连续
    • 如果函数 $f(x,y)$ 在矩形闭区域 $T: a \leq x \leq b,c \leq y \leq d$ 上连续，则 $\int_a^b{\rm d}x \int_c^d f(x,y){\rm d}y=\int_c^d{\rm d}y \int_a^b f(x,y){\rm d}x$
    • 设函数 $f(x,y)$ 及 $f_x(x,y)$ 都在矩形区域 $I: a \leq x \leq b,c \leq y \leq d$ 上连续，则碎玉每一个 $x \in [a,b],\varphi'(x)$ 存在，且 ${{\rm d} \over {\rm d}x}\int_c^d f(x,y){\rm d}y=\int_c^d f_x(x,y){\rm d}y$
    • 设函数 $f(x,y)$ 在矩形闭区域 $I: a \leq x \leq b,c \leq y \leq d$ 上连续，函数 $\alpha(x)$ 及 $\beta(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $c \leq \alpha(x) \leq d,c \leq \beta(x) \leq d(x \in [a,b])$，则 $\varphi(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y){\rm d}y$ 在 $[a,b]$ 上连续
    • 设函数 $f(x,y)$ 及 $f_x(x,y)$ 都在矩形区域 $I:a \leq x \leq b,c \leq y \leq d$ 上连续，函数 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，并且 $c \leq \alpha(x) \leq d,c \leq \beta(x) \leq d(x \in [a,b])$，则 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $\varphi(x)={{\rm d} \over {\rm d}x}\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y){\rm d}y=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f_x(x,y){\rm d}y+f(x,\beta(x))\beta'(x)-f(x,\alpha(x))\alpha'(x)$

曲线积分

• 第一类曲线积分：设函数 $f(x,y)$ 在光滑（或分段光滑）的平面曲线 $L$ 上有界，将 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段 $\{\Delta s_i\}_n$，在每个小弧段 $\Delta s_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i)$，作和式 $\sum\limits_{i=11}^n f(x_i,y_i)\Delta s_i$，如果当这 $n$ 个小弧度长度的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时，和式的极限总存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分/第一类曲线积分，记作 $\int_L f(x,y){\rm d}s$，即 $\int_L f(x,y){\rm d}s=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta s_i$
  • 相关变量定义：
    • $f(x,y)$：被积函数
    • $L$：积分弧段
    • ${\rm d}s$：弧长元素
    • $L$ 是闭曲线：曲线积分为 $\oint_L f(x,y){\rm d}s$
  • 空间曲线积分：$\int_\Gamma f(x,y,z){\rm d}s=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta s_i$
    • $\Gamma$：空间曲线弧
  • 性质：
    • $f(x,y)$ 在光滑曲线 $L$ 上连续 $\Rightarrow \int_L f(x,y){\rm d}s$ 存在
    • $\int_L [f(x,y) \pm g(x,y)]{\rm d}s=\int_L f(x,y){\rm d}s \pm \int_L g(x,y){\rm d}s$
    • $\int_L kf(x,y){\rm d}s=k\int_L f(x,y){\rm d}s$
    • $\int_{L_1+L_2} f(x,y){\rm d}s=\int_{L_1} f(x,y){\rm d}s+\int_{L_2} f(x,y){\rm d}s$
  • 计算方法：
    • 参数方程：$f(x,y)$ 在 $L:\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t)\end{cases} (\alpha \leq t \leq \beta)$ 上连续，$x(t)$ 和 $y(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上具有一阶连续导数，且 $x'^2(t)+y'^2(t) \neq 0 \Rightarrow \int_L f(x,y){\rm d}s=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}{\rm d}t$
      • 注：要求 $\alpha<\beta$，因为证明过程中 $\Delta s_i>0$
• 第二类曲线积分：设 $L$ 为平面上光滑有向曲线弧，其起点为 $A$，终点为 $B$，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界，在 $L$ 上沿 $L$ 的方向依次任意插入分点 $\{M_i(x_i,y_i)\}_{n-1}$，记起点 $A$ 为 $M_0(x_0,y_0)$，终点 $B$ 为 $M_n(x_n,y_n)$，把 $L$ 分成 $n$ 个有向弧段 $M_{i-1}M_i$，在每个小弧段 $M_{i-1}M_i$ 上任取一点 $(x_i,y_i)$，作和式 $\sum\limits_{i=1}^n P(x_i,y_i)\Delta x_i$ 及 $\sum\limits_{i=1}^n Q(x_i,y_i)\Delta y_i$（其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$）。当这 $n$ 个小弧段长度的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时，如果两和式的极限总存在，则称它们的极限分别为函数 $P(x,y)$ 沿 $L$ 对坐标 $x$ 及函数 $Q(x,y)$ 沿 $L$ 对坐标 $y$ 的曲线积分/第二类曲线积分，记作 $\int_L P(x,y){\rm d}x$ 和 $\int_L Q(x,y){\rm d}y$，即 $\int_L P(x,y){\rm d}x=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n P(x_i,y_i)\Delta x_i, \int_L Q(x,y){\rm d}y=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n Q(x_i,y_i)\Delta y_i$
  • 相关变量定义：
    • $P(x,y),Q(x,y)$：被积函数
    • $L$：积分曲线弧
  • 空间上的曲线积分：$\int_\Gamma (P(x,y,z){\rm d}x+Q(x,y,z){\rm d}y+R(x,y,z){\rm d}z)$
    • $\Gamma$：空间有向曲线弧
  • 性质：
    • $\int_{L_1+L_2} (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)=\int_{L_1} (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)+\int_{L_2} (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$
    • $\int_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)=-\int_{L^-} (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$（$L^-$ 为 $L$ 的反向曲线弧）
  • 计算方法：
    • 参数方程：设函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在有向曲线弧 $L:\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t)\end{cases}$ 上连续，$L$ 为光滑曲线弧，当参数 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M(x,y)$ 从 $L$ 的起点 $A$ 运动到终点 $B$，则曲线积分 $\int_L (P(x,y){\rm d}x+Q(x,y){\rm d}y)$ 存在且 $\int_L (P(x,y){\rm d}x+Q(x,y){\rm d}y)=\int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t))\phi'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]{\rm d}t$
      • $L$ 为光滑曲线弧 $\Leftrightarrow x(t)$ 和 $y(t)$ 具有一阶连续导数且 $x'^2(t)+y'^2(t) \neq 0$
      • 注：$\alpha$ 对应 $A$，$\beta$ 对应 $B$，$\alpha$ 不一定小于 $\beta$
• 两类曲线积分的关系：$\int_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)=\int_L (P\cos\alpha+Q\cos\beta){\rm d}s$
  • 相关变量定义：
    • $\alpha={x'(t) \over \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}}: L$ 与 $x$ 轴的夹角
    • $\beta={y'(t) \over \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}}: L$ 与 $y$ 轴的夹角
  • 向量形式：$\int_L \vec f \cdot {\rm d}\vec \gamma=\int_L \vec f \cdot \hat\tau{\rm d}s$，其中 $\vec f=(f_1,f_2,f_3),\hat\tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),{\rm d}\vec\gamma=({\rm d}x,{\rm d}y,{\rm d}z)$
    • 有向曲线元：${\rm d}\vec\gamma=\hat\tau{\rm d}s$
• 格林公式：设区域 $I$ 是以分段光滑曲线 $L$ 为边界的单连通区域，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 及 $L$ 上具有连续偏导数，那么 $\iint_I ({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y}){\rm d}x{\rm y}=\oint_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$，其中 $L$ 取正向
  • 扩展：有限个“洞”的复连通区域：$\iint_I ({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y}){\rm d}x{\rm d}y=\sum\limits_{i=1}^n \oint_{L_i}(P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$
  • 向量形式（第一类曲线积分形式）：$\iint_I ({\partial F \over \partial x}+{\partial G \over \partial y}){\rm d}x{\rm d}y=\oint_L [F\cos(\widehat{\hat n,\hat i})+G\sin(\hat n,\hat j)]{\rm d}s=\oint_L [F\sin(\widehat{\hat \tau,\hat i})-G\cos(\hat \tau,\hat j)]{\rm d}s$
• 平面曲线积分与路径无关：
  • 定义：设 $I$ 为平面区域，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $I$ 上连续，如果对于 $I$ 内任意两点 $A$ 和 $B$，曲线积分 $\int_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$ 的积分值只与 $A,B$ 两点有关，而与从 $A$ 到 $B$ 的路径 $L$ 无关，则称曲线积分 $\int_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$ 在 $I$ 内与路径无关，否则称为与路径有关
  • 充要条件总结：
    • 对于 $I$ 内任一条闭合曲线 $L$，曲线积分 $\oint_L P{\rm d}x+Q{\rm d}y=0$
    • $P{\rm d}x+Q{\rm d}y$ 在 $I$ 内是某函数 $U(x,y)$ 的全微分，即 ${\rm d}U=P{\rm d}x+Q{\rm d}y$
    • ${\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}$ 在 $I$ 内处处成立
  • 相关定理：
    • 设 $I$ 为平面区域，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $I$ 上连续，那么曲线积分 $\int_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$ 在 $I$ 内与路径无关 $\Leftrightarrow P{\rm d}x+Q{\rm d}y$ 存在一个原函数 $U(x,y)$。这时，对于 $I$ 内任意两点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，计算公式 $\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}(P{\rm d}x+Q{\rm d}y)=U(x_2,y_2)-U(x_1,y_1)$ 对于从点 $(x_1,y_1)$ 到点 $(x_2,y_2)$ 的任意路径均成立
    • 设 $I$ 为 $n$ 个“洞”的复连通区域，$L$ 为 $D$ 的外边界，$\{L_i\}_n$ 为 $I$ 的内边界，函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $I$ 内及边界 $L,\{L_i\}_n$ 上有连续偏导数且 ${\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}$ 恒成立，则 $\oint_L (P{\rm d}x+Q{\rm d}x)=\sum\limits_{i=1}^n\oint_{L_i} (P{\rm d}x+Q{\rm d}y)$，其中各边界同向
      （可以将偏导数不连续的点当做洞计算）

曲面积分

• 第一类曲面积分：设函数 $f(x,y,z)$ 在光滑曲面（有连续转动的切平面的曲面）$\Sigma$ 上有界，把 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 块小曲面 $\Delta S_i$（其面积也用 $\Delta S_i$ 表示），在 $\Delta S_i$ 上任取点 $(x_i,y_i,z_i)$，作和式 $\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$，如果当这 $n$ 块曲面的直径的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时，和式的极限总存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 $\iint_\Sigma f(x,y,z){\rm d}S=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n f(x_i,y_i,z_i)\Delta S_i$
  • 相关变量定义：
    • $\Sigma$：被积曲面
    • ${\rm d}S$：曲面的面积元素
  • 性质：
    • $f(x,y,z)$ 在光滑曲面 $\Sigma$ 上连续时，对面积的积分一定存在
    • $\iint_{\Sigma_1+\Sigma_2} f(x,y,z){\rm d}S=\iint_{\Sigma_1} f(x,y,z){\rm d}S+\iint_{\Sigma_2} f(x,y,z){\rm d}S$
  • 计算方法：
    • 直角坐标：$\iint_\Sigma f(x,y,z){\rm d}S=\iint_{I_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}{\rm d}x{\rm d}y=\iint_{I_{xz}} f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_x^2(x,z)+y_z^2(x,z)}{\rm d}x{\rm d}z=\iint_{I_{yz}} f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_y^2(y,z)+x_z^2(y,z)}{\rm d}y{\rm d}z$
• 第二类曲面积分：设函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在光滑曲面（有连续转动的切平面的曲面）$\Sigma$ 上有界，把 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 块小曲面 $\Delta S_i$（其面积也用 $\Delta S_i$ 表示），$\Delta S_i$ 在三个坐标明面 $xOy,yOz,zOx$ 上的投影分别为 $(\Delta S_i)_{xy},(\Delta S_i)_{yz},(\Delta S_i)_{zx}$在 $\Delta S_i$ 上任取点 $(x_i,y_i,z_i)$，作和式 $\sum\limits_{i=1}^n (P(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{yz}+Q(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{zx}+R(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{xy})$，如果当这 $n$ 块曲面的直径的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时，和式的极限总存在，则称此极限为向量值函数 $\vec f(x,y,z)=P(x,y,z)\hat i+Q(x,y,z)\hat j+R(x,y,z)\hat k$ 在曲面 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分或第二类曲面积分，记作 $\iint_\Sigma \vec f(x,y,z) \cdot {\rm d}\vec S=\iint_\Sigma (P(x,y,z){\rm d}y{\rm d}z+Q(x,y,z){\rm d}z{\rm d}x+R(x,y,z){\rm d}x{\rm d}y)$
  • 相关变量定义：
    • ${\rm d}\vec S=\{{\rm d}y{\rm d}z,{\rm d}z{\rm d}x,{\rm d}x{\rm d}y\}$：有向曲面元
    • $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$：被积函数
    • $\iint_\Sigma P(x,y,z){\rm d}y{\rm d}z=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}P(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{yz}:P(x,y,z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $y$ 和坐标 $z$ 的曲面积分
    • $\iint_\Sigma Q(x,y,z){\rm d}y{\rm d}z=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}P(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{zx}:Q(x,y,z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $z$ 和坐标 $x$ 的曲面积分
    • $\iint_\Sigma R(x,y,z){\rm d}y{\rm d}z=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}P(x_i,y_i,z_i)(\Delta S_i)_{xy}:R(x,y,z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $x$ 和坐标 $y$ 的曲面积分
    • $\Sigma$：积分曲面
  • 性质：
    • $\iint_{\Sigma_1+\Sigma_2} \vec f \cdot {\rm d}\vec S=\iint_{\Sigma_1} \vec f \cdot {\rm d}\vec S+\iint_{\Sigma_2} \vec f \cdot {\rm d}\vec S$
    • $\iint_{\Sigma^-} \vec f \cdot {\rm d}\vec S=-\iint_\Sigma \vec f \cdot {\rm d}\vec S$
  • 计算方法：
    • 直角坐标：
      • $\iint_\Sigma P(x,y,z){\rm d}y{\rm d}z=\pm\iint_{I_{yz}}P(x(y,z),y,z){\rm d}y{\rm d}z$（$\Sigma$ 取前面为正，后面为负）
      • $\iint_\Sigma Q(x,y,z){\rm d}z{\rm d}x=\pm\iint_{I_{zx}}Q(x,y(z,x),z){\rm d}Z{\rm d}x$（$\Sigma$ 取右面为正，左面为负）
      • $\iint_\Sigma R(x,y,z){\rm d}x{\rm d}y=\pm\iint_{I_{xy}}R(x,y,z(x,y)){\rm d}x{\rm d}y$（$\Sigma$ 取上面为正，下面为负）
• 两类曲面积分的联系：$\iint_\Sigma (P{\rm d}y{\rm d}z+Q{\rm d}z{\rm d}x+R{\rm d}x{\rm d}y)=\iint_\Sigma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma){\rm d}S$
  • 相关变量定义：
    • $\cos\alpha=\pm\frac 1{\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}}$
    • $\cos\beta=\pm\frac 1{\sqrt{1+y_z^2+y_x^2}}$
    • $\cos\gamma=\pm\frac 1{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}$
  • 向量形式：
    • $\iint_\Sigma \vec f \cdot {\rm d}\vec S=\iint_\Sigma \vec f \cdot \vec n {\rm d}S$
      • $\vec f=(P,Q,R)$
      • $\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$
• 高斯公式：设空间二维单连通区域 $\Omega$ 的边界曲面 $\Sigma$ 光滑或分片光滑，函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 及 $\Sigma$ 上具有一阶连续偏导数，则有 $\iiint_({\partial P \over \partial x}{\partial Q \over \partial y}{\partial R \over \partial z}{\rm d}V=\oiint_\Sigma(P{\rm d}y{\rm d}z+Q{\rm d}z{\rm d}x+R{\rm d}x){\rm d}y)=\oiint_\Sigma (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma){\rm d}S$
  • 前置定义：
    • 二维单连通区域：对于空间区域 $G$，如果 $G$ 内任一张闭曲面所围成的区域仍属于 $G$，则称 $G$ 是空间二维单连通区域（不含“洞”）
    • 二维复连通区域：二维非单连通区域（含“洞”）
  • 部分版本：
    • $\iiint_\Omega {\partial P \over \partial x}{\rm d}V=\oiint_\Sigma P(x,y,z){\rm d}x$
    • $\iiint_\Omega {\partial Q \over \partial y}{\rm d}V=\oiint_\Sigma Q(x,y,z){\rm d}y$
    • $\iiint_\Omega {\partial R \over \partial z}{\rm d}V=\oiint_\Sigma R(x,y,z){\rm d}z$
  • 具有有限个“洞”的二维复连通区域版本：$\iiint_\Omega({\partial P \over \partial x}{\partial Q \over \partial y}{\partial R \over \partial z}){\rm d}V=\sum\limits_{i=1}^n \oiint_{\Sigma_i^{ex}} \vec f \cdot {\rm d}\vec S-\sum\limits_{i=1}^m \oiint_{\Sigma_i^{in}} \vec f \cdot {\rm d}\vec S$
  • 物理含义：（定义向量场 $\vec f=P\hat i+Q\hat j+R\hat k$）
    • 通量：$\iint_\Sigma \vec f \cdot \vec n{\rm d}S=\iint_\Sigma (P{\rm d}y{\rm d}z+Q{\rm d}z{\rm d}x+R{\rm d}x{\rm d}y)$
      • 物理意义：向量场 $\vec f$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量：
    • 散度：$\div\vec f={\partial P \over \partial x}{\partial Q \over \partial y}{\partial R \over \partial z}$
      • 物理意义：场 $\vec f$ 中点 $(x,y,z)$ 处的通量对体积的变化率（该点处源的强度）
    • 高斯公式的物理版本：$\oiint_\Sigma \vec f \cdot {\rm d}\vec S=\oiint_\Sigma \vec f \cdot \vec n{\rm d}S=\iiint_\Omega \div \vec f {\rm d}V$
      • 物理意义：向量场 $\vec f$ 穿过 $\Sigma$ 的通量等于分布在 $\Omega$ 内的源头产生的通量
• 斯托克斯公式：设光滑曲面 $\Sigma$ 的边界为光滑闭曲线 $\Gamma$，函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 及边界曲线 $\Gamma$ 上具有连续偏导数，则 $\oint_\Gamma (P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z)=\iint_\Sigma (({\partial R \over \partial y}-{\partial Q \over \partial z}){\rm d}y{\rm d}z+({\partial P \over \partial z}-{\partial R \over \partial x}){\rm d}z{\rm d}x+({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y}){\rm d}x{\rm d}y)=\iint_\Sigma [({\partial R \over \partial x}-{\partial Q \over \partial z})\cos\alpha+({\partial P \over \partial z}-{\partial R \over \partial x})\cos\beta+({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})\cos\gamma]{\rm d}S$
  • 分部：
    • $\oint_\Gamma P{\rm d}x=\iint_\Sigma ({\partial P \over \partial z}\cos\beta-{\partial P \over \partial y}\cos\gamma){\rm d}S$
    • $\oint_\Gamma Q{\rm d}y=\iint_\Sigma ({\partial Q \over \partial x}\cos\gamma-{\partial Q \over \partial z}\cos\alpha){\rm d}S$
    • $\oint_\Gamma R{\rm d}z=\iint_\Sigma ({\partial R \over \partial y}\cos\alpha-{\partial R \over \partial x}\cos\beta){\rm d}S$
  • 行列式形式： $$\oint_\Gamma (P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z)=\iint_\Sigma\left|\begin{matrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \ P & Q & R \ \end{matrix}\right|{\rm d}S=\iint_\Sigma\left|\begin{matrix} {\rm d}y{\rm d}z & {\rm d}z{\rm d}x & {\rm d}x{\rm d}y \ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \ P & Q & R \ \end{matrix}\right|$$
  • 空间曲线积分与路径无关的条件：设函数 $P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$ 在一维单连通区域 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则空间曲线积分 $\oint_\Gamma(P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z)$ 在 $G$ 内与空间无关 $\Leftrightarrow {\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x},{\partial Q \over \partial z}={\partial R \over \partial y},{\partial R \over \partial x}={\partial P \over \partial z}$
    • 行列式形式： $$\left|\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k \ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \ P & Q & R \ \end{matrix}\right|=\vec 0$$
  • 物理意义：（定义向量场 $\vec f=P\hat i+Q\hat j+R\hat k$）
    • 环流量：$\oint_\Gamma \vec f \cdot {\rm d}\vec s=\oint_\Gamma (P{\rm d}x+Q{\rm d}y+R{\rm d}z)$
    • 旋度：${\rm rot}A=({\partial R \over \partial y}-{\partial Q \over \partial z})\hat i+({\partial P \over \partial z}-{\partial R \over \partial x})\hat j+({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})\hat k$
      • 行列式形式： $${\rm rot}\vec f=\left|\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k \ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \ P & Q & R \ \end{matrix}\right|$$
    • 斯托克斯公式的向量形式：$\oint_\Gamma \vec f \cdot {\rm d}\vec s=\iint_\Sigma {\rm rot}\vec f \cdot {\rm d}\vec S=\iint_\Sigma {\rm rot}A \cdot \hat n{\rm d}S$
• nabla 算子/Hamilton 算子：$\nabla={\partial \over \partial x}\hat i+{\partial \over \partial y}\hat j+{\partial \over \partial z}\hat k$
  • 梯度：${\rm grad}f=\nabla f={\partial f \over \partial x}\hat i+{\partial f \over \partial y}\hat j+{\partial f \over \partial z}\hat k$
  • 散度：$\div\vec f=\nabla \cdot \vec f={\partial P \over \partial x}\hat i+{\partial Q \over \partial y}\hat j+{\partial R \over \partial z}\hat k$
  • 旋度： $${\rm rot}\vec f=\nabla \times \vec f=\begin{matrix} \hat i & \hat j & \hat k \ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z} \ P & Q & R \ \end{matrix}$$
  • 高斯公式：$\iiint_\Omega \nabla \cdot \vec f{\rm d}V=\oiint_\Sigma \vec f \cdot {\rm d}\vec S=\oiint_\Sigma \vec f \cdot \hat n{\rm d}S$
  • 斯托克斯公式：$\iint_\Omega (\nabla \times \vec f) \cdot \vec S=\iint_\Sigma (\nabla \times \vec f) \cdot \hat n{\rm d}S=\oint_\Gamma \vec A \cdot {\rm d}\vec s$

附表

麦克劳林公式表

• $e^x=\sum\limits_{i=0}^\infty{x^i \over i!}$
• $\ln(1+x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over i+1}x^{i+1}$
• $\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i+1} \over (4i+1)!}-{x^{4i+3} \over (4i+3)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^i \over (2i+1)!}x^{2i+1}$
• $\cos x=\sum\limits_{i=0}^\infty ({x^{4i} \over (4i)!}-{x^{4i+2} \over (4i+2)!})=\sum\limits_{i=0}^\infty{(-1)^i \over (2i)!}x^{2i}$
• $(1+x)^\alpha=\sum\limits_{i=0}^\infty {\alpha^{\underline i} \over i!}x^i$
  • $\frac1{1-x}=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i$

导数表

• 一阶导数表：
  • $(C)'=0$
  • $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$
  • $(a^x)'=a^x\ln a[(e^x)'=e^x]$
  • $(\log_ax)'=\frac1{x\ln a}[(\ln x)'=\frac1x]$
  • $(\sin x)'=\cos x$
  • $(\cos x)'=-\sin x$
  • $(\tan x)'=\sec^2x=\frac 1{\cos^2x}$
  • $(\cot x)'=-\csc^2x=-\frac 1{\sin^2x}$
  • $(\sec x)'=\sec x\tan x={\sin x \over \cos^2x}$
  • $(\csc x)'=-\csc x\cot x=-{\cos x \over \sin^2x}$
  • $({\rm asin}\ x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-\frac12}$
  • $({\rm acos}\ x)'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=-(1-x^2)^{-\frac12}$
  • $({\rm atan}\ x)'=\frac1{1+x^2}=(1+x^2)^{-1}$
  • $({\rm acot}\ x)'=-\frac1{1+x^2}=-(1+x^2)^{-1}$
  • $({\rm asec}\ x)'=\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
  • $({\rm acsc}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$
  • $({\rm sinh}\ x)'={\rm cosh}\ x$
  • $({\rm cosh}\ x)'={\rm sinh}\ x$
  • $({\rm tanh}\ x)'=\frac1{{\rm cosh}^2x}={\rm sech}^2x$
  • $({\rm coth}\ x)'=-\frac1{{\rm sinh}^2x}=-{\rm csch}^2x$
  • $({\rm sech}\ x)'=-{\rm sech}\ x\ {\rm tanh}\ x=-{{\rm sinh}\ x \over {\rm cosh}^2x}$
  • $({\rm csch}\ x)'=-{\rm csch}\ x\ {\rm coth}\ x=-{{\rm cosh}\ x \over {\rm sinh}^2x}$
  • $({\rm asinh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}=(x^2+1)^{-\frac12}$
  • $({\rm acosh}\ x)'=\frac1{\sqrt{x^2-1}}=(x^2-1)^{-\frac12}$
  • $({\rm atanh}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
  • $({\rm acoth}\ x)'=\frac1{1-x^2}=(1-x^2)^{-1}$
  • $({\rm asech}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1-x^2}}$
  • $({\rm acsch}\ x)'=-\frac1{x\sqrt{1+x^2}}$
• 高阶导数表：
  • $(x^n)^{(n)}=n!$
  • $(a^x)^{(n)}=(\ln a)^n a^x,(e^x)^{(n)}=e^x$
  • $(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}2)$
  • $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}2)$
• 导数关系表：
  • $({\rm asin}\ x)'+({\rm acos}\ x)'=({\rm atan}\ x)'+({\rm acot}\ x)'=({\rm asec}\ x)'+({\rm acsc}\ x)'=0$
  • $({\rm atanh}\ x)'=({\rm acoth}\ x)'$

微分表

积分表

1. 逆微分表

• $\int k{\rm d}x=kx+C$
• $\int x^{\alpha }{\rm d}x=\frac1{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C$
• $\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C$
• $\int \frac1x {\rm d}x=ln|x|+C$
• $\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C$
• $\int \sin x {\rm d}x=-\cos x+C$
• $\int \sec^2x {\rm d}x=\int \cos^{-2}x {\rm d}x=\tan x+C$
• $\int \csc^2x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x {\rm d}x=-\cot x+C$
• $\int \sec x\tan x {\rm d}x=\int \sin x\cos^{-2}x {\rm d}x=\cos^{-1}x+C=\sec x+C$
• $\int \csc x\cot x {\rm d}x=\int \sin^{-2}x \cos x {\rm d}x=-\sin^{-1}x+C=-\csc x+C$
• $\int \frac1{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm asin}\ x+C$
• $\int \frac1{1+x^2}{\rm d}x={\rm atan}\ x+C$

2. 常用函数积分表

• $\int e^x {\rm d}x=e^x+C,\int a^x {\rm d}x={a^x \over \ln a}+C$
• $\int \ln x {\rm d}x=x(\ln x-1)$
• $\int x^{\alpha}=\frac1{\alpha +1}c^{\alpha +1}+C$
• $\int \sin x {\rm d}x=-\cos x +C$
• $\int \cos x {\rm d}x=\sin x+C$
• $\int \tan x {\rm d}x=-\int \cos^{-1}x\ {\rm d}(\cos x)=-\ln |\cos x|+C=\frac12 \ln (\tan^2 x+1)+C$
• $\int \cot x {\rm d}x=\int \sin^{-1}x\ {\rm d}(\sin x)=\ln |\sin x|+C=-\frac12\ln (\cot^2 x+1)+C$
• $\int \sec x {\rm d}x=\int \frac1{\cos x} {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x {\rm d}x=\int \frac1{\sin x} {\rm d}x=\int \frac1{\sin\frac x2\cos\frac x2} {\rm d}(\frac x2)$

3. 三角函数积分表

• $\int \sin x\ {\rm d}x=-\cos x +C$
• $\int \sin^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x-\sin x\cos x)+C$(来自$\sin^2 x=\frac12(1-\cos(2x))$)
• $\int \cos x\ {\rm d}x=\sin x+C$
• $\int \cos^2 x\ {\rm d}x=\frac12(x+\sin x\cos x)+C$(来自$\cos^2 x=\frac12(1+\cos(2x))$)
• $\int \tan x\ {\rm d}x=\frac12\ln(\tan^2x+1)+C$
• $\int \tan^2 x\ {\rm d}x=\int (\cos^{-2}x-1){\rm d}x=\tan x-x+C$
• $\int \cot x\ {\rm d}x=-\frac12\ln(\cot^2x+1)+C$
• $\int \cot^2 x\ {\rm d}x=\int (\sin^{-2} x-1){\rm d}x=\cot x-x+C$
• $\int \sec x {\rm d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \csc x {\rm d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

1. 反三角函数积分表

• $\int {\rm asin}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\sin t)=t\sin t-\int \sin t\ {\rm d}t=t\sin t+\cos t+C=xasin\ x+\sqrt{1-x^2}+C$
• $\int {\rm acos}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\cos t)=t\cos t-\int \cos t\ {\rm d}t=t\cos t-\sin t+C=xacos\ x-\sqrt{1-x^2}+C$
• $\int {\rm atan}\ x\ {\rm d}x=\int t\ {\rm d}(\tan t)=t\tan t-\int \tan t\ {\rm d}t=t\tan t-\frac12\ln(1+\tan^2t)+C=xatan\ x-\frac12\ln(1+x^2)+C$
• $\int acot\ x$

1. 常用积分法

• $\int (kx+b)e^x=(kx+b-k)e^x+C$
• $\int f(ax)\ {\rm d}x=\frac1a\int f(x) {\rm d}x$