单纯形法则

单纯形法则

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单纯型法是解决线性规划问题的一个方法，其设立的问题：

\[\min\quad{cx} \\ \mbox{s.t}\quad Ax=b \\ \quad x\geq0 \]

其中\(A \in R^{m\times n}\),\(rank(A) = m\),\(b\geq 0\)
单纯形法的目的其实就是找到使得\(f(x) = \sum_{i=0}^nc_ix_i\)这个值最小（大）

接下来是推导过程：

- 由于\(x\)必须要满足条件：$$Ax=b$$ 所以\(x\)必须是该方程的一个解。

- 由于\(rank(A)=m\)，所以一定能将A拆解成两个矩阵的形式，一个矩阵是满秩的，另一个则非满秩。
So:$$A = [B\quad N]$$
\(\Rightarrow\quad\) \(Ax=b \quad \Rightarrow \quad [B\quad N] \begin{bmatrix} X_B\\X_N\end{bmatrix} = b \quad \Rightarrow \quad BX_B+NX_N = b\)

因为\(B\)是可逆矩阵，所以方程左右两边同时乘\(B^{-1}\)
所以：

\[X_B = B^{-1}b-B^{-1}NX_N \]

-现在，对于\(Ax = b\)的这个条件基本上已经使用结束，现在我们要处理目标函数：
我们设$$f = \sum_i^nc_ix_i$$同样我们将其拆成两个部分：$$f = C_BX_B+C_NX_N$$
带入\(X_B\)得：$$f = C_B(B^{-1}b-BNX_N)+C_NX_N$$整理得$$ f=C_BB^{-1}b-(C_BBN-C_N)X_N$$化简整理得$$f=f_0-\sum_{j\in R}(C_BB^{-1}p_j-C_j)X_j$$其中\(p_j\)是矩阵\(N\)的第\(j\)列，现在我们令$$z_j = C_BB^{-1}p_j$$所以最后的结果为$$f = f_0-\sum_{j\in R}(z_j-c_j)x_j$$因为\(x_j\)是自由解，只要其保证大于0就行了，所以我们先令\(x_j=0\)，再取寻找\(x_k\)当其系数\((z_k-c_k)\geq 0\)
\(x_k\)则去正数时\(f\)就会变小，此时我十分的希望x_k能够足够的大。可是这是做不到的。因为\(x_k\)会影响\(X_B\)的取值，而且\(X_B\geq 0\)，因此，在变换\(x_k\)的时候，我们需要考虑\(X_B\)的取值，为了推理方便，我们将\(X_B\)展开,

未完，待续