CF1695C Zero Path 题解

题意：

思路：

设 $ minv $ 表示路径最小权值和， $ maxv $ 表示路径最大权值和。

当且仅当路径长度 $ n + m - 2 \equiv 0 \space (mod \space 2) $ 且 $ minv \le 0 \le maxv $ 时，一定有权值和为 $ 0 $ 的路径；否则，一定没有权值和为 $ 0 $ 的路径。

证明：

由于只能向右或向下走，路径长度一定为 $ n + m - 2 $ ；由于要求路径权值和为 $ 0 $ ，那么路径所经 $ +1 $ 与 $ -1 $ 的个数一定相同。因此，当路径长度 $ n + m - 2 \equiv 1 \space (mod \space 2) $ 时，一定没有权值和为 $ 0 $ 的路径。

一条路径可以被描述为若干个 $ +1 $ 和 $ -1 $ 的一个序列，那么权值和最小的路径可以被表示为序列 $ p_1 $ ，权值和最大的路径可以被表示为序列 $ p_2 $ 。从 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的第一步开始，通过不断交换 $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的当前步，可以由 $ p_1 $ 得到 $ p_2 $ ，由 $ p_2 $ 得到 $ p_1 $ 。而每次交换当前步， $ p_1 $ 和 $ p_2 $ 的路径权值和可能 $ +0 $ 、 $ +2 $ 、 $ -2 $ ，又由于路径长度 $ n + m - 2 \equiv 0 \space (mod \space 2) $ ，那么， $ minv $ 和 $ maxv $ 均为偶数，中间一定经历了 $ minv \to minv + 2 \to ... \to 0 \to ... \to maxv - 2 \to maxv $ 这样的过程。

因此，当且仅当路径长度 $ n + m - 2 \equiv 0 \space (mod \space 2) $ 且 $ minv \le 0 \le maxv $ 时，一定有权值和为 $ 0 $ 的路径；否则，一定没有权值和为 $ 0 $ 的路径。