CF1861D Sorting By Multiplication 题解

题意：

给定一个数组 $ A $ $ ( $ $ A_i ≥ 1 $ $ ) $ ，给定一种操作，选择一个区间 $ [l, r] $ ，选择任意一个数 $ x $ ，使得 $ A_i = A_i * x \space (l \le x \le r) $ ，要求使 $ A $ 严格递增，求最小操作次数。

思路：

考虑到 $ A_i \ge 1 $ ，$ x $ 可以为负数，那么最终严格递增的 $ A $ 分为三种情况：全是正数，全是负数，先负后正。

1. 全是正数： 只需要找到初始 $ A $ 中每个满足 $ Ai \ge Ai+1 $ 的索引 $ i $ ，选择区间 $ [i + 1, n] $ ， 使得 $ A_j = A_j * INF \space (i + 1 \le j \le n)$ 即可。

2. 全是负数： 选择区间 $ [1, n] $ ，使得 $ A_i = -INF * A_i \space (1 \le i \le n)$ ，只需要找到现在 $ A $ 中每个满足 $ Ai \ge Ai+1 $ 的索引 $ i $ ，选择区间 $ [1, i] $ ， 使得 $ A_j = A_j * INF \space (1 \le j \le i)$ 即可。

3. 先负后正： $ for \space i : 1 $ -> $ n $ 枚举每个负数右边界 $ i $ ，选择区间 $ [1, i] $ ，使得 $ A_j = -INF * A_j \space (1 \le j \le i) $ 。对于 $ A $ 的正数后缀 $ [i + 1, n] $ ，参考情况 $ 1 $ ；对于 $ A $ 的负数前缀 $ [1, i] $ ，参考情况 $ 2 $ 。

情况 $ 2 $ 和情况 $ 3 $ 中，选择一个区间使其变为负数，再维护该区间为严格递增，实际上等价于： 选择一个区间，维护该区间为严格递减，再将该区间变为负数。 两者操作次数相同，每次操作所选区间也相同。

情况 $ 1 $ ，等价于情况 $ 3 $ 中负数右边界为 $ 0 $；情况 $ 2 $ ，等价于情况 $ 3 $ 中负数右边界为 $ n $。

考虑正负交替的情况：由于严格递增的 $ A $ 只有 $ 3 $ 种情况，显然正负交替的情况需要变成上述 $ 3 $ 种情况之一。无论变为哪种情况，实际上等价于：情况 $ 3 $ 中，选择一个负数右边界 $ i \space (0 \le i \le n) $ ，然后将所选负数前缀中的正数变为负数，将所选正数后缀中的负数变为正数，之后参考情况 $ 1 $ 和情况 $ 2 $ 。 由于 $ A_i \ge 1 $ ，正数变为负数需要多进行至少 $ 1 $ 次操作，正数变为负数再变为正数需要多进行至少 $ 2 $ 次操作，所以一定不会优于上述 $ 3 $ 种情况。

因此，实际上只需要考虑一种情况——先负后正，负数右边界从0到n。

做法：

预处理：$ for \space i : 1 $ -> $ n $ 遍历维护 $ Less[i] $ ，表示区间$ [1, i] $ 中，$ A_i \le A_{i+1} $ 的数量。

预处理：$ for \space i : 1 $ -> $ n $ 遍历维护 $ Greater[i] $ ，表示区间 $ [1, i] $ 中， $ A_i \ge A_{i+1} $ 的数量。

最后，先考虑负数右边界为 $ 0 $ ， 即全是正数的情况，令 $ ans $ $ ＝ $ $ Greater[n] $ 。然后 $ for \space i : 1 $ -> $ n $ 遍历每个负数右边界 $ i $ ， $ ans $ $ ＝ $ $ min $ $ (ans $ ，( $ Less[i] $ $ + 1 $ ) $ + (Greater[n] - Greater[i])) $ ，即可得到最终答案 $ ans $ 。