1 牛顿迭代法的作用

对于单个方程$f(x)=0$，通过不断的迭代趋近于某一个单解，最终求出答案。但也有例外，比如出现无理数、无限循环小数等特殊情况，只能趋近，也就是结果是有限的。

2 牛顿迭代法的内容

2.1 怎么迭代

设$x_1$为你对$x$的猜测值，比如方程$x^2-16=0$，你最开始猜测$x$为$5$，则$x_1=5$。通过$x_1$求出$x_2$……（一直迭代），使最终趋近于“真正的$x$”。

2.2 迭代的式子

$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f^{\prime }(x_i)}$，这是牛顿迭代法迭代的式子，其中$f^{\prime }(x)$是函数$f(x)$的一阶导数。

3 如何求导

3.1 第一种，单点求导数

• 中心差分公式：$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$
• 后向差分公式：$f^{\prime }(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$
• 前向差分公式：$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

其中，中心差分公式最为精准，$h$是一个无限小的数，用1e-7一些极小的值代替一下。

3.2 第二种，函数求导数函数

记住以下式子。

• 对于$f(x)=x^n$的$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$。
• 对于$f(x)$为常数的$f^{\prime }(x)=0$。
• 对于$f(x)=g_1(x)+g_2(x)$，$f^{\prime }(x)=g_1^{\prime }(x)+g_2^{\prime }(x)$。

基本的情况就可以解决了。

3.3 导数不存在了

啊啊啊啊~导数不存在了（发癫）！在一些情况下没有导数。

导数也就是一根切线的斜率，这根切线它要是上下摆动，有无数根，还怎么求导？所以需要用左导数$f_{-}^{\prime }(x)$和右导数$f_{+}^{\prime }(x)$进行判断。举个例子，$f(x)=|x|$。

• $f_{-}^{\prime }(0)=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{|h|-0}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{lim}\frac{-h}{h}=-1$
• $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{|h|-0}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{lim}\frac{h}{h}=1$

诶~左导数与右导数竟然不相等，说明它的切线还有活动空间，所以它没有导数在$x=0$的位置，否则若相等则有导数。