最大网络流问题

之前参加阿里巴巴的笔试碰到一最大网络流的题目。因为之前没有看过这类算法，所以还是自然没做出。今天抽空看了看。了解了下基本概念和求解流程。这里简单总结下。

主要内容来自百度文库某ppt。在每幅图片的下面我会给出一些说明性文字。

本图示最大流的一个实例。由此，可以引出最大流的一些基本的定义和概念

可以这样看，图就是一种管道，管道有最大通过流量的限制，图中边的权值就是所谓的“容量”。同时，注意有唯一的源点和汇点。

这里需要注意容量和流量的区别。其中f(u,v)的范围需要额外注意，是 0<= f(u,v) <= c(u,v)，不会出现所谓的负流量。下图是对可行流的图示

有了可行流，我们还需要求最大流

那么如何求最大流呢。可以采用著名的Ford Fulkerson算法

所以说，算法的关键在于

1）何为增广路径，如何找出增广路径。

2）如何更新流量

说的直白些，所谓增广路径，就是找到这样一条路径，其流量不满，未达到容量上限。

所有的可能的增广路径在一起便构成了残留网络。

那么，如何增广呢。

其实，这里的这个描述不太准确。下面我根据我的理解再解释一下。

第一步，计算可增加流量

设某一增广路径上的节点为（a1,a2,a3,a4,....,an）

如果（u,v）是正向边，则增加流量d = min{ c(ai,aj) - f(ai,aj) | j = i +1, i =1,2,3...,n-1}

如果是逆向边，则增加流量d = min{ f(ai, aj) | j = i +1, i =1,2,3...,n-1}

第二步，更新流量

如果（u,v）是正向边，则 f(u,v) = f(u,v) + d

是逆向边，则f(u,v) = f(u,v) - d

注意，如果是逆向边，就是减法，当前管道从中减去部分流量，而且，伴随着这部分减去的流量，必有另一部分管道的流量会增加。。而且，最后的总流量增加了d

结合上述算法，可以详细参阅下下列图示

可以证明，可行流为最大流，当且仅当不存在新的增广路径。

总结一下最大流算法

如何寻找增广路径，采用DFS和BFS的方法。然后在更新流量。

具体实现以后再给出。

源PPT链接http://wenku.baidu.com/view/7ed3c241a8956bec0975e32b.html