BZOJ 2844 albus就是要第一个出场 ——高斯消元 线性基

【题目分析】

    高斯消元求线性基。

    题目本身不难，但是两种维护线性基的方法引起了我的思考。

void gauss(){
    k=n;
    F(i,1,n){
        F(j,i+1,n) if (a[j]>a[i]) swap(a[i],a[j]);
        if (!a[i]) {k=i-1; break;}
        D(j,30,0) if (a[i]>>j & 1){
            b[i]=j;
            F(x,1,n) if (x!=i && a[x]>>j&1) a[x]^=a[i];
            break;
        }
    }
}

　　——高斯消元求线性基

    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=31;j>=0;--j)
        if ((a[i]>>j)&1){
            if (!lb[j]) {lb[j]=a[i]; cnt++; break;}
            else a[i]^=lb[j];
        }

　　——动态维护线性基

    不会高斯消元解Xor方程组的我，直接使用了第二种方式求解，发现直接WA飞了。

    （后来一想，居然过了样例）。

    那么他们有什么差别呢。

    我对拍了许多组，发现他们求出的线性基的大小是相同的。

    但是高斯消元的线性基有一个神奇的特征，是使得该位为1的最小的数。（最小的）

    那么有必要去写高斯消元吗？

    显然不必要，做一个小操作就好了。

    于是改了改动态维护线性基的代码，成了这个样子 ↓

    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=31;j>=0;--j)
        if ((a[i]>>j)&1){
            if (!lb[j]) {lb[j]=a[i]; cnt++; break;}
            else a[i]^=lb[j];
        }
    for (int i=31;i>=0;--i)
        if (lb[i])
            for (int j=i-1;j>=0;--j)
                if ((lb[i]>>j)&1) lb[i]^=lb[j];

　　——改版

    神奇的AC了。线性基与高斯消元的结果相同。

    考虑时间复杂度，都是log*n的，自然没什么差别，但是用哪种就是仁者见仁智者见智了。

    实际上高斯消元会快一些（达不到复杂度上限），而动态维护线性基是标准的上限（雾）

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
 
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
 
#define maxn 100005
#define ll long long
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}
 
const int mod=10086;
int n,cnt=0,q;
int lb[34],a[maxn];
 
int power(int a,int b)
{
//  printf ("Pow %d ^ %d is ",a,b);
    int ret=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) (ret*=a)%=mod;
        (a*=a)%=mod;
        b>>=1;
    }
//  printf("%d\n",ret);
    return ret;
}
 
bool cmp(int a,int b)
{
    return a>b;
}
 
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
//  sort(a+1,a+n+1);
//  for (int i=1;i<=n;++i) cout<<a[i]<<" "; cout<<endl;
    q=read();
//  cout<<"query : "<<q<<endl;
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=31;j>=0;--j)
        if ((a[i]>>j)&1){
            if (!lb[j]) {lb[j]=a[i]; cnt++; break;}
            else a[i]^=lb[j];
        }
    for (int i=31;i>=0;--i)
        if (lb[i])
            for (int j=i-1;j>=0;--j)
                if ((lb[i]>>j)&1) lb[i]^=lb[j];
//  printf("The Xor Base is %d\n",cnt);
    int rk=0,x=0,tmp=0;
    for (int j=31;j>=0;--j)
    if (lb[j]){
        tmp++;
//      cout<<tmp<<":"<<lb[j]<<endl;
        if ((x^lb[j])>q) continue;
        x^=lb[j];
//      printf("now add %d\n",cnt-tmp);
        rk=(rk+power(2,cnt-tmp))%mod;
    }
    for (int i=1;i<=n-cnt;++i)
        rk=(rk*2)%mod;
    rk++;
    cout<<rk<<endl;
}