5 范数及矩阵函数

关联：0 复习与引申、1 线性空间与线性变换、2 内积空间与等距变换、3 矩阵的相似标准形、4 Hermite二次型

本章目的

本章首先引进范数概念，然后介绍矩阵序列及幂级数的收敛定理，在此基础上给出矩阵函数的定义，并介绍其计算。

• 矩阵函数
• 范数
• 矩阵函数的应用

范数

内积与范数

由于范数实际上是表示距离的概念，所以这里的符号记法与之前的模类似。
内积空间中两向量之差的长度固然是这样的一种量，但还可以有其它形式的量。范数是更为一般的反应向量间“距离”的量。

• \(C^n\)中范数的例子：
  
  

范数与极限

范数的可比较性（等价）

矩阵范数

• 矩阵p-范数：
  

范数的相容性

• 定义：
  
• 定理：
  

算子范数

• 定义：
  
• 定理：
  
  
  1. 列模和范数：列取模求和的最大值；
  2. 谱范数：特征值模的最大值；
  3. 行模和范数：行取模求和的最大值。

矩阵2-范数（Frobenius范数）和算子2-范数（谱范数）比较重要。

• 例题：
  
  解：\(||M||_F=\sqrt{a^2+b^2}\)，\(||M||_2=\max\left\{c,d\right\}\)

收敛定理

• 定义：
  

幂序列

矩阵幂级数

矩阵函数

定义法

对于比较简单的矩阵，可以直接代入定义中，把矩阵当做x进行计算。

定理

• 定理1：设\(A \in C^{n \times n}，\rho(A)<R\)，又\(f(x)\)为\(x\)的解析函数\(（|x|<R）\)，则\(f(A)=Pdiag[f(J_1),\ldots,f(J_s)]P^{-1}\)，其中

\[f(J_i)=\begin{bmatrix} f(\lambda_i) & f^{\prime}(\lambda_i) & \ldots & \frac{f^{(r_i-1)}\ \ (\lambda_i)}{(r_i-1)!} \\ 0 & f(\lambda_i) & \ldots & \frac{f^{(r_i-2)}\ \ (\lambda_i)}{(r_i-2)!} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & f^{\prime}(\lambda_i)\\ 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_i)\\ \end{bmatrix}_{r_i \times r_i} \]

• 定理2：已知\(n\times n\)矩阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)，则\(f(A)\)的特征值为\(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots,f(\lambda_n)\).

待定系数法

※ 注意：这里几重根就提供几个方程，即求导代入对应的特征值，左右两边相等即可。

关联第三章最小多项式的知识点：最小多项式的根的重数=矩阵的Jordan标准形里以该数为特征值的Jordan块的最高阶数。
因而在待定系数法中往往取阶数最高的Jordan块，因为它涵盖的范围最广、条件最多。找\(g(x)\)的时候应当比最小多项式的次数少1，也就是比最高阶数少1.

矩阵函数的性质

这里要注意第二条一定要满足\(AB=BA\)才可以使用。