0 复习与引申

参考视频：【东南大学】研究生课程 工程矩阵理论 课程22讲+习题6讲

行列式

主要是行列式的相关计算及结论。

余子式相关的定义比较重要。

矩阵运算

矩阵的乘法中应注意的问题

• 存在非零零因子（即\(AB=0\)，而\(A\)和\(B\)均不为\(O\)矩阵）
• 不可交换
• 乘法消去律不成立
• 一些代数恒等式对矩阵不再成立
  若可交换，则代数恒等式对矩阵也成立；若\(A\)可逆，则消去律（消去\(A\)）也成立。

分块矩阵的乘法规则

• \(A\)，\(B\)均按行进行分块
• \(A\)按列分块，\(B\)不分块
• 将\(A\)视作一块，\(B\)按列分块
• 将相关矩阵分成四块
  例：证明：上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵

线性方程组

主要涉及到的是方程组的求解。

1. 对于非齐次线性方程组：基础解系=特解+通解
2. 对于齐次线性方程组：基础解系=通解

求矩阵特解和通解的方法： 满足秩以外的叫自由向量，自由向量都取0用来求特解，自由变量轮流取1,其他的自由变量取0用来求通解。（满足秩的意思即极大无关组）

向量组的极大无关组及秩

矩阵的秩及等价标准形

• 矩阵的秩
  这里主要需要注意的是一些常用不等式。
  

幂等矩阵： 平方等于自身的矩阵。

• 等价标准形
  

满秩分解

步骤：

1. 求极大线性无关组（行变换化成行最简形矩阵）
2. 将其余向量用极大线性无关组线性表示
3. 拼成两个同秩矩阵相乘

个人理解： 拆分为极大线性无关组和另一个矩阵的乘积即可。

• 一个例子：
  

其实与极大线性无关组相乘的那个矩阵并不用求，只要行最简形化对了，C就是蓝色框里的那部分。