线段树优化建图

使用场景

单点向区间、区间向单点，区间向区间建边

实现原理

用线段树的一个节点管辖一段图上区间的顶点

实现步骤

1. 将原图中的顶点拆点，出点和入点；
2. 建立两棵线段树，出点的树 $otree$ ，入点的树 $itree$ ；
3. 出点的树由子节点连向父节点，边权为 $0$ ，入点的树由父节点向子节点连边，边权为 $0$ ；

使用方法

1. 单点 $x$ 与单点 $y$ 连边，则用出点的树上编号 $out_x$ 连向 $y$ 的入点 $in_y$ ；
2. 单点 $x$ 向区间 $[lt, rt]$ 连边， $out_x$ 向入树的根节点递归连边；
3. 区间顶点 $[lt, rt]$ 向单点 $x$ 连边，出树从根节点递归向 $out_x$ 连边；
4. 区间 $[lt, rt]$ 向区间 $[lt2, rt2]$ 连边，虚拟一个节点 $v$ ，时间复杂度 $O(2\log_N)$