【计算几何】浅谈凸包Andrew算法

前置知识

计算几何基础知识。

引文

这样一个问题，

有许多个杆子，需要用绳子围住所有的杆子，然鹅没有很多的绳子，求最短需要多少绳子。

整个图大概是这样的，

正文

我们要如何解决这题呢？不难想出，最优解法应该是这样的，

而这个图中隐藏着解决这道题的奥秘。

特别的这个图被我们称为凸包。

首先我们可以把它分割成两个图，分为上壳与下壳

分析一下，我们可以发现，在上壳中，编号从大到小，都是向右转，下壳相同。

可以推测个结论，在上壳中，如果一个节点需要左转，这次时必定不是最优的，下壳相同，

怎么样才能改成最优的呢？很简单，让他变成向反方向转：将之前的节点一个个删除，直到达到目的为止。

凸包步骤

首先，将节点按 $x$ 第一关键字， $y$ 第二关键字排序，

然后枚举上壳：现将节点 $A$ 与节点 $B$ 加入凸包，并加入 $C$ ，

尝试连接 $E$ ，然而由于 $C$ 在 $AB$ 的左方向，并不是最短的，所以并不可行，

将 $D$ 删去凸包中，依次连接 $E$ 、 $F$ 、 $I$ ，

不可行，将 $F$ 删去；

这样上壳就枚举完了，便开始枚举下壳。

下壳是从编号大向编号小的枚举，

依次加入 $I$ 、 $G$ 、 $F$ 、$D$

然而 $D$ 在 $GF$ 的左边，自然并非最优，

删掉 $F$ ，连入 $C$ ，

发现 $C$ 在 $GH$ 的左边，于是删掉 $G$ ，连入 $A$ 。（ $B$ 显然连不了）

然后凸包便成功生成了出来11！

补充

还有最后一个问题，我们该如何判断一个点在直线的方向？

将该节点与直线首尾相接，当这两个直线的叉积大于 $0$ 时，点在左方；

小于 $0$ 时，点在右方；

当其等于 $0$ 时，点与直线共线。

代码

inline int Andrew(Point *p, int n, Point *Poly) { // 求凸包
  int used[N] = {0};                              // 标记每个数字是否使用过
  sort(p + 1, p + n + 1, [](Point a, Point b) {   // 排序节点
    return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
  });
  int cnt = 3;
  Poly[1] = p[1], Poly[2] = p[2];                 // 初始时加入1号和2号节点
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    if (cnt > 1 && Cross(Poly[cnt] - Poly[cnt - 1], Poly[i] - Poly[cnt] <= 0)) { // 判断是否在左边
      -- cnt;                                                                    // 删除此节点
      used[Poly[cnt + 1]] = 0;
    }
    used[i] = 1;                                 // 标记节点
    Poly[++ cnt] = p[i];                         // 加入凸包
  }
  int k = cnt;                                   // 上壳的起点
  for (int i = n; i >= 1; --i) {
    if (used[i]) {                               // 已经加入凸包
      continue;
    }
    while (cnt > k && Cross(Poly[cnt] - Poly[cnt - 1], Poly[i] - Poly[cnt]) <= 0)) {
      -- cnt;
      used[Poly[cnt + 1]] = 0;
    }
    used[i] = 1;
    Poly[++ cnt] = p[i];
  }
  Poly[++ cnt] = 1;                              // 便于计算周长
  return cnt;
}