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题意描述不太清楚，就算到达 $n$ 可绕一圈再回来，且数据里图不连通。考虑先求出强连通分量，缩完点后建反图在 $DAG$ 上跑 $dp$ 计数，注意只记那些从 $n$ 点开始可达的，如果路径上有一个强连通分量里有边，意味着可以在这个强连通分量里反复走环，它及它的后继都是 $inf$ 。（输出方案时的点是原图中的，而非缩完点后的）

[ARC092F] Two Faced Edges

求强连通分量，缩点。考虑缩点后 $DAG$ 上一条边 $v \to u$ ，翻转后强连通分量个数只能减少，且当且仅当 $v$ 到 $u$ 还有一条不经过这个边的路径，以每一个点为起点做一遍拓扑 $O (n \times (n + m))$ 求出。而对于一个强连通分量里的边 $v \to u$ ，翻转后改变数量当且仅当 $v \to u$ 是 $v$ 到 $u$ 的必经边。考虑怎么求，以每个点为起点顺序枚举它的出边（编号为 $1$ 到 $k$ ）， $dfs$ 到每个点记录第一次到该点时来源的起点出边编号，再倒序枚举一次起点出边做一遍 $dfs$ ，若两次起点 $v$ 到 $u$ 的出边编号相同，则该边为必经边，复杂度同样为 $O (n \times (n + m))$ 。

P3469 [POI2008] BLO-Blockade

自然可以建圆方树做，但没必要。如果删的不是割点，答案一定是 $(n - 1) \times 2$ ，如果是割点，设分割出的子树集合是 $S$ ，那么答案是 $S$ 中的子树大小两两相乘再加 $(n - 1) \times 2$ ，化简以后是 $n^{2} - 1 - \sum_{i \in S} s i z e_{i}^{2}$ 。考虑 $tarjan$ 走的是一颗搜索树，可以在 $tarjan$ 过程中顺便求。

P2860 [USACO06JAN] Redundant Paths G

对于割边两端的点势必只有一条路径。先求边双，缩点后变为一棵树。结论是树上度数为 $1$ 的点的个数除以 $2$ 向上取整。

证明：设度数为 $1$ 的点的集合为 $S$ , 若 $| S |$ 为偶数，最后连的边数为 $\frac{| S |}{2}$ ，即两个一组对应连边，每次连完边后重新缩点度数为 $1$ 的点减少 $2$ ，如果一次连边后度数只减少 $1$ ，对应的情况只能是一个度数为 $3$ 的点下连 $2$ 条链和一棵子树，连了 $2$ 条链的端点，这时只要任选一条链的端点与那棵子树中的一个度数为 $1$ 的点连就可避免这种情况。若 $| S |$ 为奇数，任选一个度数为 $1$ 的点连边转化为 $| S |$ 为偶数的情况。

CF51F Caterpillar

~~shaber 翻译~~

一开始看翻译数据范围 $n \leq 20000$ ，很奇怪，但自信 $O (n)$ ，快写完时wy提醒我是 $n \leq 2000$ ，瞬间破防。但自信写完交，发现直接找直径会漏掉有很多条直径的情况，瞬间破防。

发现答案分为 $3$ 部分，把所有连通块连在一起，把边双缩成一个点，把挂在直径上的树缩到直径上。但 $O (n^{2})$ 我不会啊，充分利用人类智慧，随机几条直径跑，事实证明正确率非常高。

后来发现确实可以 $O (n)$ ，子树缩到直径上的代价是 $s i z_{i} - c n t_{i}$ ，其中 $s i z_{i}$ 为子树大小， $c n t_{i}$ 为子树中叶子节点个数。发现这个东西整体考虑非常好求，只跟直径长短和叶子个数有关。

P4606 [SDOI2018] 战略游戏

摧毁的点一定得是割点，否则图还联通。并且摧毁这个点后标记点应在不同的连通块里。这个问题在原图上不好做，求完点双缩点后每次要找标记点在哪个点双里，也比较复杂，于是考虑建圆方树。答案便是圆方树上标记点组成的连通块中圆点个数减去标记点个数。这时候可以一棵虚树直接拍上去，但码量太大了，想一想有没有智慧一点的方法。发现把标记点（假设有 $k$ 个）按 $dfs$ 序排序，每次在相邻两点间（包括第 $1$ 个点和第 $k$ 个点）的路径边上加 $1$ ，最后可以发现每条边恰经过两次，由于要求圆点个数，可以把圆方树上圆点到父亲的边边权赋为 $1$ ，方点到父亲的边边权赋为 $0$ ，根是圆点要特判加上 $2$ 。