2023 暑假牛客多校

时隔一年，多校又至。还是和jimmywang与shihoghmean组队。只可惜后面要文化课了，可能打不完。

2023.11.3 update： 回头发现记了4场就咕了，那就这样吧。。。

只记一些赛时想过的和听完题解后会的妙妙题：

7.17

“范式杯”2023牛客暑期多校训练营1

D

题意：$n\times m$ 的巧克力， Kelin 先手 Walk Alone 后手拿走一块矩形的巧克力，谁拿走 $(n,m)$ 处的巧克力谁输，问结果。

数据范围：$1\le n,m\le {10}^9$。

结论题，只有 $1\times 1$ 的时候 Walk Alone 会赢，其余情况均是 Kelin 赢。

K

题意：给定一个无向图 $G(n,m)$，可以将其中任意一条边分裂成一条长度为任意的链（向边中插任意多个点），可以操作任意多次（也可以不操作）。问经过这样处理之后，从 $1$ 号节点出发，至多走 $k$ 步最多可以到多少个节点。

数据范围： $1\le n\le {10}^5，1\le m\le 200000，1\le k\le {10}^9$。

先考虑求 $1$ 到每个节点的最短路，可以用 $\text{dijkstra}$ 或 $01$-$\text{bfs}$ 解决。发现所有最短路形成的是一棵搜索树。如果在树边上插点会影响很多点到 $1$ 的最短路，而在非树边上插点不影响 $1$ 到任意一个点的最短路，所以考虑在非树边上插点。一条非树边上的新插点可以通过该边两端点到 $1$ 的最短路来到 $1$。记点 $x$ 到 $1$ 的最短路长为 $d_x$，则一条非树边 $(x,y)$ 的贡献为 $2K-d_x-d_y$。还有每个不连接非树边的叶子节点贡献为 $K-d_x$。注意 $1$ 所在连通块没有边的情况。

H

题意：给定两个长度为 $n$ 的序列 $\{a{\}}_{i=1}^n$ 和 $\{b{\}}_{i=1}^n$，现在可以选择其中一个序列交换其中的两个数字，问经过至多一次操作后最小的 $\sum _{i=1}^n|a_i-b_i|$。

数据范围：$1\le n\le 200000，0\le |a_i|,|b_i|\le {10}^{12}$。

分四类讨论，二分解决。原题 CF1513F

7.21

2023牛客暑期多校训练营2

K

题意：给出一个长度为 $n$ 的 $01$ 串以及每个位置都有权值 $a_i\ge 0$。每个 $1$ 最多移动一次且最多移动一位。若一个位置有 $1$ 则可以获得权值。问最大可能的权值和。$n\le {10}^6$。

一开始贪心了半天写的巨长。发现是easy $\text{dp}$ 题。

设 $d{p}_{i,0/1/2}$ 表示枚举到第 $i$ 位，这一位不动，有 $1$ 的话前移或后移产生的最大贡献。

答案即为 $max(d{p}_{n,0},d{p}_{n,1})$。

H

题意：给定一个长为 $n$ 的只含 $\text{A,B}$ 两种字符的字符串。给定 $Q$ 次询问 $(l,r,x)$ 表示二进制字符串 $x$ 经过字符串 $(l,r)$ 这段区间后变成什么。之中，$\text{A}$ 操作反转该二进制字符串（$0,1$ 互换），$\text{B}$ 操作将该二进制字符串视为数字计算 $x\leftarrow x+1$（溢出的位舍弃）。数据范围都在 $2\times {10}^5$ 级别，且询问要求强制在线。

发现询问串位数始终不变，设当前给的串在十进制下为 $x$，二进制下长为 $\text{len}$。考虑有一个二进制下为极长的全 $1$ 串的数 $s$，发现取反操作相当于 $s$ 减去当前数 $x$ 后取后 $\text{len}$ 位。

用线段树维护矩阵实现转移即可。

G

题意：询问一个串 $\text{S}$ 是否由若干“中心对称”的串拼接而成。$\sum |S|\le 5\times {10}^6$。

从前往后枚举前缀的对称中心，$\text{Hash}$ 判断是否满足条件，满足条件了就把该前缀从原串中去掉，重复上述步骤。

复杂度 $O(n)$。

完全没难度，为啥过的人这么少

7.24

2023牛客暑期多校训练营3

E

题意：给定 $n$ 个顶点 $m$ 条边的有向图，边的边权均为 $1$，判断以顶点 $1$ 为根的所有可能的 $\text{dfs}$ 树是否均为以顶点 $1$ 为根的最短路树。多组询问。$1\le T\le 5\times {10}^5，1\le \sum n\le 5\times {10}^5，1\le \sum m\le 5\times {10}^5$。

考虑通过 $\text{bfs}$ 建立分层图，然后分类讨论。首先删掉所有的重边、自环，它们肯定不影响答案。对于一条边 $u\to v$，若 $v$ 在 $u$ 的下一层，这种边没有任何影响。若 $u$ 和 $v$ 在同一层，它一定可以在 $\text{dfs}$ 中被用到，且导致 $v$ 的距离出错，这时答案会是 “No”。若 $v$ 在 $u$ 前面的层，且 $v$ 不是 $u$ 的支配点，那么 $\text{dfs}$ 的时候就可以从 $1$ 出发，走一条不经过 $v$ 的路到 $u$，再走到 $v$，导致 $v$ 的距离出错。否则，不论如何从 $1$ 走到 $u$ 的时候都已经经过 $v$ 了，这条边不会影响答案。时间复杂度为 $O(m\log n)$。

直接搬的题解，赛时几乎写了4h，和题解思路差不多，但就是写挂了。/kk

7.28

2023牛客暑期多校训练营4

J

题意：你需要计算长度为 $n$ 的满足以下条件的数组 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ 的个数，对 $998244353$ 取模：对每个 $1\le i\le n$，都有 $-m\le a_i\le m$。数组中所有长度不小于 $2$ 的连续子段中数字之和均非负。$1\le n,m\le 5000$。

(说不定假的)结论：数列不满足当且仅当存在一段形如 $+-,-+,-+-$ 不满足条件。

待补……

A

题意：$T$ 组数据，每次给定一个 $01$ 字符串 $t$ 以及一个正整数 $n$, 要求构造一个长度为 $n$ 的 $01$ 字符串 $s$, 使得 $t$ 在 $t+s+t$ 中仅出现两次。$1\le T,n,|t|\le 1000$。

结论：$s$ 取全 $0$ 串或全 $1$ 串至少有一种满足条件。

证明考虑 $t$ 的最长相同真前后缀，再分类讨论即可。用 $\text{Hash}$ 判是否可行。

H

题意：输入 $n$，你要构造一种方案将 $n\times n$ 的正方形合并成一个大正方形，其中单次合成的正方形个数要在 $2$ 到 $50$ 之间。$1\le n\le 1000$。

递归处理每一个大正方形。对于当前的正方形 $\mathbf{A}$，考虑取一个正方形完全覆盖 $\mathbf{A}$ 的左上角，对于右下的“L”形空余，用大小相同的正方形“L”角，对于剩余的两个长方形（分别在左下、右上）递归处理（类似辗转相除），可以证明每一次操作与操作总数在限制内。