7.19 线性代数

传送门

听完课感觉会的还是会，不会的依然听不懂。一做题，这真的跟讲的那些线性代数有关系吗？

[ABC189E] Rotate and Flip

因为所有点一起动，其实可以记一下整体位移情况的，但既然是线代专场，应该用更优雅的方法。

点的坐标变换可以用矩阵表示，记一个转移矩阵前缀和即可。

CF1662C European Trip

如果没有相邻两次不可以走同一条边的限制，那就是矩阵快速幂板题了。

一开始有一个错误的思路，走两步走重边的情况只有回到起点这一种，所以想到把初始矩阵平方后把主对角线赋为 $0$。再依靠这个转移。但这个并不能保证所有移动都没有在相邻步中走重边。比如保证了 $1$ ~ $2$ 步与 $3$ ~ $4$ 步，但并不能保证 $2$ ~ $3$ 步。

后面甚至想过拆点，但发现本质相同

但这是有启发性的，长为 $k$ 的满足限制的路径条数只与长为 $k-1$ 与 $k-2$ 的满足条件的路径条数有关。从 $k-1$ 转移到 $k$ 的过程中，新增的不满足条件的路径，恰好为在长为 $k-2$ 的满足条件的路径中走出去再回到原终点的情况。设 $d{p}_{x,i,j}$ 表示长为 $x$ 的从 $i$ 到 $j$ 的满足限制的路径条数，与 $j$ 有连边的点的集合为 $S$，$d_j$ 表示点 $j$ 的度数。于是有：

$$d{p}_{x,i,j}=(\sum _{y\in S}d{p}_{x-1,i,y})-d{p}_{x-2,i,j}\times (d_j-1)$$

至于为什么是 $d_j-1$，因为从点 $j$ 沿着 $i$ 到 $j$ 的路径方向撤一条边再回来的情况在上一层转移中已经减掉了。

就因为这个一开始以为自己假了，卡了好久，后来发现减 $1$ 就行啊啊啊啊啊啊啊

具体的转移用矩阵实现转移，只不过要把前两层的状态都放进去，类似于矩阵套矩阵。

记长为 $x$ 的满足限制的路径条数的答案矩阵为 ${\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}$，全为零的矩阵为 $\mathbf{O}$，单位矩阵为 $\mathbf{I}$，初始存图的邻接矩阵为 $\mathbf{C}$，转移矩阵为 $\mathbf{B}$。上述矩阵大小均为 $n\times n$，那么：

$$\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}}& {\mathbf{A}}_{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathbf{O}& \mathbf{B}\\ \mathbf{I}& \mathbf{C}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}}& {\mathbf{A}}_{\mathbf{x}}\end{array}\right]$$

其中：

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccccc}-(d_1-1)& 0& 0& ...& 0& 0\\ 0& -(d_2-1)& & & & 0\\ .& & .& & & .\\ .& & & .& & .\\ 0& & & & -(d_{n-1}-1)& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0& -(d_n-1)\end{array}\right]$$

矩阵快速幂优化转移即可。注意长为 $2$ 的合法路径无法从长为 $0$ 的转移过来，需要特判把主对角线赋为 $0$，$k=1$ 时要特判。

时间复杂度 $O(8n^3\log k)$

P4035 [JSOI2008] 球形空间产生器

相邻两方程相减可以消去二次项，变为 $n$ 个 $n$ 元一次方程，高斯消元法求解即可。

P5337 [TJOI2019] 甲苯先生的字符串

看成图论问题，给出串中相邻元素不能连边，矩阵快速幂求长为 $n$ 的路径数。

P2447 [SDOI2010] 外星千足虫

发现每两个限制相异或后不改变条件，类似于高斯消元把它消成上三角，用线性基实现。