DP专场

CF1814E Chain Chips

好久没写这种题了~~

不带修时，为了让总距离和最短，考虑让相邻的车互换位置，但如果单纯这样有可能剩下一辆车，那就让相邻的三辆车换一下。发现当车的个数 $x\ge 4$ 时，都可以拆成 $2$ 辆或 $3$ 辆车。对应到边就是只能选相邻的一条边或两条边。设 $d{p}_i$ 表示第 $i$ 条边必选且满足条件的答案，那么：

$$d{p}_i=min(d{p}_{i-1},d{p}_{i-2})+a_i$$

利用加法对取 $\text{min}$ 操作的分配律，转化为广义矩乘递推：

$$\left[\begin{array}{cc}d{p}_{i-2}& d{p}_{i-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& a_i\\ 0& a_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d{p}_{i-1}& d{p}_i\end{array}\right]$$

用线段树维护支持修改。

CF1774E Two Chess Pieces

考虑每个棋子必须经过哪些点：

• 子树里有己方标记点的点
• 与子树中对方最深标记点距离大于 $d$ 的点

除根结点外每个需经节点贡献为 $2$，一遍 $\text{dfs}$ 解决。

虚假的 $\text{dp}$，真实的贪心

CF1763D Valid Bitonic Permutations

看到数据范围都很小啊，考虑枚举拐点 $\text{id}$ 在哪个位置。首先有个很容易被忽略的隐藏条件（也有可能是我比较逊没想到），拐点的数值必是 $n$。然后拐点在每个位置的贡献就可以暴力分为 $6$ 类：

$$\{\begin{array}{ll}(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-y-1}{j-i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{y-1}{n-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x-1}{i-id-1})[x>y]& \text{if}id<x\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{x-y-1}{j-i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{y-1}{n-j})[x>y][x=n]& \text{if}id=x\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y-1}{j-id-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{y-1-x}{n-j-(x-1-(i-1))})[x<y]& \text{if}x<id<y\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-x-1}{id-i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{y-1}{n-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1-y}{i-1-(y-1-(n-j))})[x>y]& \text{if}x<id<y\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{y-x-1}{j-i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i-1})[x<y][y=n]& \text{if}id=y\\ (\genfrac{}{}{0ex}{}{y-x-1}{j-i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{x-1}{i-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y-1}{id-j-1})[x<y]& \text{if}id>y\end{array}$$

除了中间两类（拐点不在中间的时候）都很好理解啊，考虑拐点在中间的情况，以 $x<y$ 为例。先把一定不冲突的选掉，即 $\text{id}$ 到 $j$ 中间的与 $i$ 之前的。剩下比 $x$ 小的必然放在 $j$ 右边，再把比 $y$ 小的剩下数选一些填满 $j$ 的右边，最后剩下的数排在 $i$ 和 $\text{id}$ 间。

真实的数学，虚假的 $\text{dp}$

CF1762F Good Pairs

如果直接从一个位置 $a_{i_x}$ 往前找和它差的绝对值不超过 $k$ 的位置并直接转移，用线段树维护发现会算重。

但其实有这样一个事实，当 $a_{i_{x-2}}\le a_{i_{x-1}}\le a_{i_x}$ 时，其实可以直接从 $a_{i_{x-2}}$ 转移到 $a_{i_x}$。于是所有可选序列都可以被缩成单调不降或单调不增的。

考虑只考虑单调不降的，反过来再做一遍，再把全相同的算重的部分减掉。

设 $d{p}_i$ 表示当当前右端点 $r$ 为 $i$ 时左边合法的 $l$ 个数。找到 $i$ 左侧满足 $a_j\le a_i$ 并且 $|a_i-a_j|\le k$ 的第一个 $j$。满足条件的 $l$ 可以被分为三类：

1. 在 $j$ 和 $i$ 之间 $l$ 的必然不满足。
2. 在 $j$ 左侧且值域在 $(a_j,a_i]$ 的 $l$ 都可转移到 $i$。
3. 在 $j$ 及其左侧且值域在 $[1,a_j]$ 的 $l$ 都直接通过 $d{p}_j$ 转移。

用线段树维护即可。注意每次不能暴力建树，做一遍反操作清空。

CF1840F Railguns

设 $d{p}_{t,i,j}$ 表示在第 $t$ 秒在 $(i,j)$ 是否可行。则：

$$d{p}_{t,i,j}=d{p}_{t-1,i,j}|d{p}_{t-1,i-1,j}|d{p}_{t-1,i,j-1}$$

第一维可以滚动数组，后两维可以压成一维。

CF1843F2 Omsk Metro (hard version)

发现树上一条路径 $x\to y$ 一旦建立，由于没有撤销操作，这条路径就固定不变了。于是把整棵树建好，把询问离线下来，就是一个静态问题了。

由于点权值域为 $-1,1$，一条路径的上每拓展一个节点其权值和在整数域上是连续变化的，故只要求一条路径的最大子段和与最小子段和，看 $k$ 是否在这个区间即可。

具体的用倍增实现，在 $\text{lca}$ 处合并时要把其中一条链翻转一下，注意空串和为 $0$。

CF1827C Palindrome Partition

CF1750F Majority

有一位伟人告诉我们：正难则反

这题的 $\text{dp}$ 状态设置非常巧妙，满足条件的方案数等于总方案数减去不满足条件的方案数。当一个串的两端都为 $1$ 时，对于不满足条件的方案，完成所有可行的操作后，必然形成 $01$ 相间的串，且首尾均为 $1$ 串。设 $d{p}_{i,j}$ 表示可行操作结束后长度为 $i$ 的左右两端均为 $1$ 的最右端为长为 $j$ 的 $1$ 的串包含的方案数。

于是对于 $d{p}_{i,i}$ 有：

$$d{p}_{i,i}=2^{i-2}-\sum _{j=1}^{i-1}d{p}_{i,j}$$

对于 $d{p}_{i,j}(j<i)$，考虑在末尾的 $1$ 串左边添一个长为 $k$ 的 $0$ 串，再接一个末尾为长为 $m$ 的 $1$ 串的串。所以：

$$d{p}_{i,j}=d{p}_{j,j}\times \sum _{k=j+2}^{i-j-1}\sum _{m=1}^{k-j-1}d{p}_{i-j-k,m}$$

其中 $d{p}_{n,n}$ 即为答案，暴力计算为 $O(n^4)$。内层的求和显然可以前缀和优化，外层的求和为第一个前缀和矩阵上的斜前缀和，优化后为 $O(n^2)$。