CF1702G2 Passable Paths (hard version)

Passable Paths (hard version)

思路

题意：判断是否存在一条链包含树上给定点集。

考虑把 $1$ 当做树的根，将无根树转化为有根树。

考虑这样一个性质：若存在满足条件的最短链，则点集中深度最深的点 $u$ 是该链的一个端点，点集中距离 $u$ 最远的点 $v$ 是该链的另一端点。

证明：若点 $u$ 不是链的端点，则 $u$ 的子孙节点中还存在点集中的点，以保证 $u$ 被包含在可行最短链中，这与 $u$ 深度最深矛盾。若 $v$ 不是点集中距离 $u$ 最远的点，则对于 $u$ 与 $v$ 简单路径上的所有点（包含端点）到 $u$ 的距离均小于等于 $v$ 到 $u$ 的距离，此时链不能包含点集中距离 $u$ 最远的点，矛盾。

之后只要判断点集中其余 $k-2$ 个点是否均在 $u$ 和 $v$ 的简单路径上就可以了。

考虑分三类：

1. 如果点 $i$ 的深度小于 $u$ 与 $v$ 的 $\text{lca}$ 的深度，则不可行。

2. 否则如果点 $i$ 在 $u$ 或 $v$ 任一点到 $1$ 的路径上，则可行。

3. 其余情况均不可行。

每个点利用倍增 $\text{LCA}$ 判断即可。

时间复杂度 $O(q\log n)$。

代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int SIZE = 200005;
int n, tot, st;
vector<int> e[SIZE];
int a[SIZE], d[SIZE], f[SIZE][30];
 
inline int rd(){
	int f = 1, x = 0;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)){
		if(ch == '-') f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while(isdigit(ch)){
		x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
		ch = getchar();
	}
	return f*x;
}
 
void dfs(int x, int fa){
	f[x][0] = fa; d[x] = d[fa] + 1;
	for(int i = 1; i <= 23; i++){
		f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
	}
	for(int i = 0; i < e[x].size(); i++){
		int y = e[x][i];
		if(y == fa) continue;
		dfs(y, x);
	}
}
 
int LCA(int x, int y){
	if(d[x] < d[y]) swap(x, y);
	for(int i = 23; i >= 0; i--){
		if(d[f[x][i]] >= d[y]) x = f[x][i];
		if(x == y) return x;	
	}
	for(int i = 23; i >= 0; i--){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			x = f[x][i], y = f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}
 
int main(){
	n = rd();
	for(int i = 1; i < n; i++){
		int x = rd(), y = rd();
		e[x].push_back(y);
		e[y].push_back(x);
	}
	dfs(1, 0);
	int q = rd();
	for(int i = 1; i <= q; i++){
		int tot = rd();
		st = 0; bool flag = true;
		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			a[j] = rd();
			if(d[a[j]] > d[st]) st = a[j];
		}
		int z = 0, jl, lc;
		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			if(a[j] == st) continue;
			if(z == 0){
				z = a[j];
				lc = LCA(a[j], st);
				jl = d[a[j]] + d[st] - 2*d[lc];
			}
			else{
				int xx = d[a[j]] + d[st] - 2*d[LCA(a[j], st)]; 
				if(xx > jl){
					jl = xx;
					z = a[j];
					lc = LCA(a[j], st);
				}
			}
		}
		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			if(a[j] == z || a[j] == st) continue;
			if(d[a[j]] < d[lc]){
				flag = false;
				break;	
			} 
			else{
				int xx = LCA(a[j], st), yy = LCA(a[j], z);
				if(!(xx == a[j] || yy == a[j])){
					flag = false;
					break;	
				} 
			}
		}
		if(flag) printf("YES\n");
		else printf("NO\n");
	}
	return 0;
}