Trick合集

一些小 trick

1. 对两个集合的点两两连边时，除了线段树优化建图，还可以建一个虚点连接两个点集，把边数降成线性

2. 有些数列的区间操作重复若干次后不再产生影响，比如区间开根，区间取模

3. 树上点集 lca 等价于点集中 dfs 序最小、最大的点的 lca

4. $\text{Hash}$ 思想配合随机判断一些东西是否相同

5. 矩阵加速dp转移

6. 普通图上dp：①用SPFA转移解决后效性问题；②记忆化搜索；③高斯消元

7. 减少对无用状态的统计与枚举

8. 在线复杂度较高时考虑离线怎么做

9. 树上问题先考虑链和特殊情况怎么做

10. 图上问题先考虑树上怎么做

11. 计数问题直接按题意统计复杂度较高时，考虑拆解成多部分的贡献，或单个元素对答案的贡献

12. 树上背包 $O(n^3)$ 优化至 $O(n^2)$ -> 详解

13. 线段树套分块优化时间空间

14. 扩展域并查集判定二分图

15. 正难则反

16. 范德蒙德卷积：

$$\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})$$

17. 来源：abc295E

In general, for a probability variable X that takes an integer value between 1 and M,

$$\text{(expected value of X)}=\sum _{i=1}^m(i\times \text{(probability that X = i)})=\sum _{i=1}^m(\text{probability that}X\ge i)$$

18. 枚举一个数 $x$ 的二进制子集：

for(int S = x; S; S = (S-1)&x)