瓶颈在于第一步，确定性算法最少需要 $n$ 步（从全 $0$ 到全 $1$ 必然有一个串是 $\frac{n}{2}$ ），但如果每次随机给出一个串，那 $499$ 次不能得到 $\frac{n}{2}$ 的概率是 ${(1 - \frac{(\binom{n}{\frac{n}{2}})}{2^{n}})}^{499}$ ，约为 $0.00003$ 。~~除非够非~~

7.10

CF920E Connected Components?

大胆猜想图的性质，连通块的数量在 $n$ 很大的时候不会很多，用 $bfs$ 加 $queue$ 优化暴力找连通块（复杂度证明不太会/kk）。题解区是抽屉原理，觉得很妙。

发现异或和的限制是吓人的，可以将为给定边权的边中一条边赋为该异或值，其它边设为 $0$ ，可以证明这时他们的和最小，只需考虑哪条边不为 $0$ 。容易发现当未定边形成环时，有值的那条未给定边一定不会计入最小生成树，而未给定边数大于等于 $n$ 时，它们必然能形成环，即 $\frac{n \times (n - 1)}{2} - m \geq n$ 时，解得 $n \geq 634$ ，用CF920E的方法把只由未给定边构成的连通块找出来，再并查集求最小生成树。剩下的部分暴力并查集 $O (n^{3})$ 可过。

CF1749E Cactus Wall

题意是在矩形网格中通过种仙人掌使上下两边不连通，仙人掌的四连通里不能有仙人掌，问是否可行与最少种植的构造方案。

感性理解是通过走一些 "#" 组成的斜着的路径使左边与右边连通，然后想到用 $dp$ 从左往右转移，但发现这个路径还可以拐回来，有后效性了。

放在图论专题里，肯定是图论做法。先把输入给的图就不符合要求的判掉，然后建立一个源点向左边第一列的格子连边，再将右边最后一列的格子向建立的一个汇点连边。网格中间的话走到 "." 的格子上边权为 $1$ ，走到 "#" 上边权为 $0$ ，最后判一下走不到的 "."。用 $dijkstra$ 求最短路，记录路径求方案，是否连通判有无解。

CF1693C Keshi in Search of AmShZ

需要对 $dijkstra$ 有深刻的理解……

一开始直观的想法是把一条从 $1$ 到 $n$ 的路径上的所有点其他的出边都堵上，以确保那个人一直沿着这条路径走。以为很对啊，但问题是这道题有重边，假设两个点之间用一条边直接相连，但这条边叠了 $800$ 条，还有一条经过另一个点的两条边组成的路径，其中每条边也叠了 $800$ 条。如果按照之前的想法，那一次最少要堵 $800$ 条边，但事实上什么都不做，让这个人随便走最多只要 $2$ 步就能走到。

~~之后又想到求 DAG 最长路，把带环的图堵成 DAG，平衡堵路耗费的次数和 DAG 最长路的长度，但发现都不好做~~

其实离正解已经很接近了。设 $d_{x}$ 表示第 $x$ 个点到 $n$ 的最少步数，显然为了保证在任何情况下都在一定步数内到达，只需考虑最坏情况，即优先往 $d_{x}$ 大的地方走。而为了缩短到达 $n$ 的时间，应该堵掉一些指向 $d_{x}$ 相对较大的点的边。所以现在要考虑的是如何平衡这二者。

仔细回想 $dijkstra$ 的本质，是一种贪心，每次找出的往外扩展的点的 $d_{x}$ 是单调不降的。建立原图的反图，在反图上跑 $dijkstra$ ，每个点可以被松弛的次数就是该点在原图中的出度，优先被松弛的边来源的那个点（原图中该出边指向的一个点）的 $d_{x}$ 一定是当前没被松弛的边对应的点中最小的，因此可以很方便的知道这时需要堵多少条边（出度减当前松弛次数）才能走这条边。记当前点为 $x$ ，后继点为 $y$ ，出度减当前松弛次数为 $c n t$ ，转移方程为：