Longest Increasing Subsequences（最长递增子序列）的两种DP实现

一、本文内容

最长递增子序列的两种动态规划算法实现，O(n^2)及O(nlogn).

 

 

二、问题描述

最长递增子序列：给定一个序列，从该序列找出最长的 升序/递增 子序列。

特点：1、子序列不要求连续； 2、子序列在原序列中按严格(strictly)升序排序； 3、最长递增子序列不唯一。

 

注：下文最长递增子序列用缩写LIS表示。

 

example：

0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15

 

对应的LIS：

0, 2, 6, 9, 13, 15

0, 4, 6, 9, 11, 15

 

 

三、算法描述

1、考察第i+1个元素时，不考虑前面i个元素的状态

给定长度为n的序列A[0..n-1]，对于给定某个的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能间接通过当前状态来影响；换句话说，每个状态都是过去历史的完整总结。即LIS[i]当前的状态与LIS[0..i-1]已无关。这几句话可以用Fibonacci的递归树来验证，对LIS的递归树同样适用。 如下面的递归树：

 

                                    LIS(3)          

                                /       |      \

                      LIS(2)     LIS(1)    LIS(0) 

                      /     \       /        

             LIS(1)  LIS(0)  LIS(0)

            /   

         LIS(0) 

 

很显然，递归树有很多重复/重叠的子问题，而大问题的最优解又可以由这些子问题的最优解得到，符合DP的两个条件，故可以用DP来解决LIS问题。

那么给定序列A[0..n-1]，求它的LIS，可以top-down分解任务，得到递归树；递归树bottom-up就可以建立子问题的查询表以供求解当前问题时查询。

这就是DP的两种处理方式：Memoization（top-down) 和 Tabulation (bottom-up).

 

假设LIS[i]表示A[0..i]的最长递增子序列的长度，那么

LIS[i+1] = max{1, LIS[j]+1}, A[i+1]>A[j], for any j<=i；   注意：到A[i]的子序列长度不一定大于A[j]的子序列长度（如上例当A[j]=12, LIS[j]={0, 4, 12}和当A[i]=2, LIS[i]={0, 2}）

若A[i+1]>A[j],则A[i+1]可以接在LIS[j]长的子序列后面构成一个更长的子序列。

同时, 从A[i+1]开始又构成一个长度为1的子序列。故两者取大值。

 

 

2、考察第i+1个元素时，考虑前面i个元素的状态

那么，什么时候在一个已存在的序列中添加或者替换一个元素是安全的呢？（DP算法都是offline algorithm，需要全局考虑）

显然，我们需要维护所有递增的子序列（称其为active list，即可能成为max{LIS}的子序列）。而这些子序列的长度都不同，

可以按照插入排序的思想，一个一个元素地从前面找到其应该归属的子序列(active list)。

 

有A[i]>A[i-1]和A[i]<A[i-1]两种情况，A[i]<A[i-1]又有一种特殊情况A[i]是当前序列中的最小元素，即A[i]<A[j], for any j<i;

 

case 1. If A[i] is smallest among all end candidates of active lists, we will start new active list of length 1. 

（when we encounter new smallest element in the array, it can be a potential candidate to start new sequence，{2, 5, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 6}）

 

case 2. If A[i] is largest among all end candidates of active lists, we will clone the largest active list, and extend it by A[i].

 

case 3. If A[i] is in between, we will find a list with largest end element that is smaller than A[i]. Clone and extend this list by A[i]. We will discard all other lists of same length as that of this modified list. 

（找到end element小于A[i]的active list之后，其他相同长度的active list将被删除，因为A[i]小于这些等长active list的end element，用新的active list代替将被删除的active list：复制小于A[i]的active list，并添加A[i]）

 

处理过程如下

example：A[ ] = {0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15}

A[0] = 0. Case 1. There are no active lists, create one.

0.

-----------------------------------------------------------------------------

A[1] = 8. Case 2. Clone and extend.

0.

0, 8.

-----------------------------------------------------------------------------

A[2] = 4. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 4.

0, 8. Discarded

-----------------------------------------------------------------------------

A[3] = 12. Case 2. Clone and extend.

0.

0, 4.

0, 4, 12.

-----------------------------------------------------------------------------

A[4] = 2. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 2.

0, 4. Discarded.

0, 4, 12.

-----------------------------------------------------------------------------

A[5] = 10. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 2.

0, 2, 10.

0, 4, 12. Discarded.

-----------------------------------------------------------------------------

A[6] = 6. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 2.

0, 2, 6.

0, 2, 10. Discarded.

-----------------------------------------------------------------------------

A[7] = 14. Case 2. Clone and extend.

0.

0, 2.

0, 2, 6.

0, 2, 6, 14.

-----------------------------------------------------------------------------

A[8] = 1. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 1.

0, 2. Discarded.

0, 2, 6.

0, 2, 6, 14.

-----------------------------------------------------------------------------

A[9] = 9. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 1.

0, 2, 6.

0, 2, 6, 9.

0, 2, 6, 14. Discarded.

-----------------------------------------------------------------------------

A[10] = 5. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 1.

0, 1, 5.

0, 2, 6. Discarded.

0, 2, 6, 9.

-----------------------------------------------------------------------------

A[11] = 13. Case 2. Clone and extend.

0.

0, 1.

0, 1, 5.

0, 2, 6, 9.

0, 2, 6, 9, 13.

-----------------------------------------------------------------------------

A[12] = 3. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 1.

0, 1, 3.

0, 1, 5. Discarded.

0, 2, 6, 9.

0, 2, 6, 9, 13.

-----------------------------------------------------------------------------

A[13] = 11. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 1.

0, 1, 3.

0, 2, 6, 9.

0, 2, 6, 9, 11.

0, 2, 6, 9, 13. Discarded.

-----------------------------------------------------------------------------

A[14] = 7. Case 3. Clone, extend and discard.

0.

0, 1.

0, 1, 3.

0, 1, 3, 7.

0, 2, 6, 9. Discarded.

0, 2, 6, 9, 11.

----------------------------------------------------------------------------

A[15] = 15. Case 2. Clone and extend.

0.

0, 1.

0, 1, 3.

0, 1, 3, 7.

0, 2, 6, 9, 11.

0, 2, 6, 9, 11, 15. <-- LIS List

----------------------------------------------------------------------------

 

注：观察上面的处理过程，我们都只在处理所有active list的最后一个元素end element(粗体)，那么仅仅需要维护所有active list构成的end element集合（粗体斜边），

      可以用一维数组来存储。discard操作可以用replace操作来模拟。

 

 

四、算法实现

 

第三节的算法描述序号分别对应下面的算法实现

1、时间复杂度为O(n^2)的DP实现

/**
 @description: Longest Increasing Subsequence
 @author:   seiyagoo
 @create:   2013.10.25
 @modified: 2013.10.26
**/
int LIS_1(int A[], int size){

    int *LIS   = new int[size];
    vector<int> *vec = new vector<int>[size];

    /* Compute optimized LIS values in bottom up manner */
    for(int i=0; i < size; i++){
        LIS[i]=1;                        //初始化默认长度
        int max_j=0, flag=0;
        for(int j=0; j < i; j++){        //查表,找出前面最长的序列, 若将A[i]加入LIS[j](LIS[j]+1的含义)的递增子序列比当前的LIS[i]更长, 则更新LIS[i]
            if(A[i] > A[j] && LIS[i] < LIS[j]+1){
                LIS[i] = LIS[j]+1;
                max_j=j;
                flag=1;
            }
        }
        if(flag)                        //copy前面最长子序列到vec[i]
            vec[i].insert(vec[i].end(), vec[max_j].begin(), vec[max_j].end());
        vec[i].push_back(A[i]);       //最后放入A[i]
    }
    
    /*Show LIS of the current state*/
    vector<int>::iterator it;
    cout<<left;
    for(int i=0; i<size; i++){
        cout<<setw(2)<<A[i]<< "  -->  ";
        for(it = vec[i].begin(); it!=vec[i].end(); it++)
            cout<<*it<<" ";
        cout<<endl;
    }
    
    /* Pick maximum of all LIS values, namely max{LIS[i]} */
    int max_len=0;
    for(int i = 0; i < size; i++ )
      if( max_len < LIS[i] )
         max_len = LIS[i];
         
    delete[] LIS;
    delete[] vec;

    return max_len;
}

 

2、时间复杂度为O(nlogn)的DP实现

/**
 @description: Longest Increasing Subsequence
 @author:   seiyagoo
 @create:   2013.10.25
 @modified: 2013.10.26
**/

// Binary search (note boundaries in the caller)
// A[] is ceilIndex in the caller
int CeilIndex(int A[], int l, int r, int key) {
    int m;
 
    while( r - l > 1 ) {
        m = l + (r - l)/2;
        (A[m] >= key ? r : l) = m; // ternary expression returns an l-value
    }
 
    return r;
}

int LIS_2(int A[], int size) {
    // boundary case: when array size is one
    if( 1 == size ) return 1;
 
    int *tailTable   = new int[size];
    vector<int> *vec = new vector<int>[size];
    int len; // always points empty slot
 
    //memset(tailTable, INT_MAX, sizeof(tailTable[0])*size);  @bug

    for(int i = 0; i < size; i++)
        tailTable[i] = INT_MAX;
    
    tailTable[0] = A[0];          //tailTable[0] store the smallest value
    vec[0].push_back(A[0]);
    
    len = 1;
    for( int i = 1; i < size; i++ ) {
        if( A[i] < tailTable[0] ) {  //case 1: new smallest value
            tailTable[0] = A[i];

            /*discard and create*/
            vec[0].clear();
            vec[0].push_back(A[i]);
        }
        else if( A[i] > tailTable[len-1] ) { //case 2: A[i] wants to extend largest subsequence
            tailTable[len++] = A[i];
            
            /*clone and extend*/
            vec[len-1] = vec[len-2];
            vec[len-1].push_back(A[i]);
        }
        else { //case 3: A[i] wants to be current end candidate of an existing subsequence, It will replace ceil value in tailTable
            int ceilIndex = CeilIndex(tailTable, -1, len-1, A[i]);
            tailTable[ceilIndex] = A[i];

            /*discard, clone and extend*/
            vec[ceilIndex].clear();
            vec[ceilIndex] = vec[ceilIndex-1];
            vec[ceilIndex].push_back(A[i]);
        }
        
        /*Printf all the active lists*/
        vector<int>::iterator it;
        cout<<left;
        cout<<"A["<<i<<"] = "<<A[i]<<endl<<endl;
        cout<<"active lists:"<<endl;
        for(int i=0; i<len; i++){
            for(it = vec[i].begin(); it!=vec[i].end(); it++)
                cout<<*it<<" ";
            cout<<endl;
        }

        /*Printf end elements of all the active lists*/
        cout<<endl<<"end elements array:"<<endl;
        for(int i = 0; i < size; i++)
            if(tailTable[i] != INT_MAX)
                cout<<tailTable[i]<<" ";
        cout<<endl;
        cout<<"-------------------------"<<endl;
    }
    
    
    delete[] tailTable;
    delete[] vec;
 
    return len;
}

 

五、运行结果

example：

0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15

 

算法实现一

 

算法实现二

 

 

参考：

《编程之美》

http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence

http://www.geeksforgeeks.org/longest-monotonically-increasing-subsequence-size-n-log-n/