01背包问题

首先01背包题目的雏形是

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

理解了这个方程后，将方程代入实际题目的应用之中，可得

for(i = 1; i<=n; i++)
{
    for(j = v; j>=c[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了
    {
        f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
    }
}

也可以通过一维数组复用，来就行空间压缩：

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=h[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-h[i]]+v[i]);
        }
    }

 

 

 

来一发牛客上的一个双重背包问题

[编程题] 创造新世界

众所周知计算机代码底层计算都是0和1的计算，牛牛知道这点之后就想使用0和1创造一个新世界！牛牛现在手里有n个0和m个1，给出牛牛可以创造的x种物品，每种物品都由一个01串表示。牛牛想知道当前手中的0和1可以最多创造出多少种物品。 

输入描述:

输入数据包括x+1行：

第一行包括三个整数x(2 ≤ x ≤ 20)，n(0 ≤ n ≤ 500)，m(0 ≤ m ≤ 500)，以空格分隔

接下来的x行，每行一个01串item[i]，表示第i个物品。每个物品的长度length(1 ≤ length ≤ 50)

输出描述:

输出一个整数，表示牛牛最多能创造多少种物品

输入例子:

3 3 1
1
00
100

输出例子:

2

#include "iostream"
#include "string"
#include "vector"
#include "algorithm"

using namespace std;

int dp[505][505];
int LL0[505], LL1[505];
int x, n, m;

int main()
{
    while (cin >> x >> n >> m)
    {
        for (int i = 0; i < x; i++)
        {
            string str;
            cin >> str;
            int l = str.length(), L0 = 0, L1 = 0;
            for (int i = 0; i < l; i++)
            {
                if (str[i] == '0')
                    L0++;
                else
                    L1++;
            }
            LL0[i + 1] = L0;
            LL1[i + 1] = L1;
        }
        for (int i = 1; i <= x; i++)
        {
            for (int j = n; j >= LL0[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了    
            {
                for (int k = m; k >= LL1[i]; k--)
                    dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[j - LL0[i]][k - LL1[i]] + 1);
            }
        }    
        cout << dp[n][m] << endl;
    }
}

//3 3 1
//1
//00
//100

//5 5 5
//1
//10
//00
//0
//0