编程之美 1.5快速找出故障机器

题目：

　　有很多服务器存储数据，假设一个机器仅存储一个标号为ID的记录，假设机器总量在10亿以下且ID是小于10亿的整数，假设每份数据保存两个备份，这样就有两个机器存储了同样的数据。

问题是：1.假设在某个时间得到一个数据文件ID的列表，是否能快速地找出表中仅出现一次的ID？即快速找出出现故障的机器存储的数据ID。

　　　　2.如果有两台机器出现故障呢？（假设存储同一份数据的两台机器不会同时出现故障，即列表中缺少的是两个不等的ID）

 

给出了4种解法思路

解法一：

　　最传统的比较列表，需要遍历整个列表，记录每个ID出现的次数，最后输出只出现一次的ID，时间复杂度O(n)，空间复杂度也为O(n)，如果数据量太大，实际运算效率会很低下。

解法二：

　　优化存储空间，在很多数据中，大部分出现次数都是2，出现故障的机器为少数，通过Hash Table，Key值为机器ID，Value值为出现次数。遍历列表，遇到ID，就将ID的Value值加1。Value值为2的话，删除这个Key。最后Hash表中剩下的就是出故障的机器ID。

　　最好情况下空间复杂度为O(1)，最坏仍为O(n)。

解法三：

　　前两种方法已经将空间复杂度降到了O(n)，如果在想降到常数级，就需要换一种思路，不用遍历列表的这种方法。

如果能只用一个变量记录遍历列表的结果，那么空间复杂度可将为O(1)。

　　x(N)=ID_Lost。考虑到列表中，只有一个ID出现了1次，其他都是2次，可以用到计算机语言里面的异或(XOR、⊕)。

A⊕A=0

A⊕0=A

　　最终x(n)=List[0]⊕List[1]⊕List[2]⊕……⊕List[n]  的运算结果即为只出现一次的ID号，空间复杂度为1。

　　但如果有2个ID只出现了一次，假设出现一次的ID为A,B，x(n)的为A⊕B，仍无法确定AB的值。

　　异或之后的二进制值，某一位为1的话，可以推断出，AB2个数中，这个位置，一个是0，一个是1。我们将所有ID，分为2类，一类这位上为1，一类这位上为0。这2类个包含了AB中的一个，使用2个变量，遍历列表做异或处理，即可找出A和B的值。

解法四：

　　将问题进行扩展，现在故障机器的ID相同，既2台存储相同数据的机器同时嗝屁了。运用一些数学上的知识，数学中有不变量，在这里，事先预订的整数ID集合中，所有的ID相加可以得到一个不变量。将现在的ID集合相加，用不变量减去现在的ID集合的和，即可得到丢失数据ID的。时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(1)。

　　如果这2台机器ID不同，我们只是得到了他们的ID之和，x+y=a，并不能知道他们到底是多少。可以再构建一个等式，构成一个方程，解方程组，得出x和y的值。同样使用不变量的概念，比如所有ID的乘积，最后得出来xy=b，解出x，y的值。

 

 

总结：

　　在算法设计是一个慢慢发展过程中，开始的时候可能只是想出了最普通的一个解法，效率不高，但能解决问题。做到这一步之后，想要更进一步，就需要在时间复杂度或者空间复杂度方面做一些优化。还可以根据题中的一些条件，想一些可以用计算机方式解决的方法，如异或、与、正则表达。还可以用数学的思想来看看问题有没有解决的办法。

 

附解法一小程序

#include "stdio.h"

int main(){
    int List[]={1,2,3,5,6,7,8,9,0,1,2,3,4,5,6,8,9};//ȱ0,7,4 
    int t;
    int length=sizeof(List)/sizeof(List[0]);
    printf("%d\n",length);

    for(int i=0;i<length;i++){
    t=0;
        for(int j=0;j<length;j++)
            if(List[i]==List[j])
                t=t+1;
    if(t!=2)
        printf("%d\n",List[i]);
    }
}