算法设计 分析篇(摊销分析)
摊销分析
摊销是一种,功过相抵的思想:
①中国古代,某大臣因为犯错,看在立下汗马功劳的份上,从轻发落。
②图灵被发现时个同性恋者,但因破解了德国海军密码,抵消罪过。
摊销分析vs平均情况分析
以一场篮球比赛为例。
平均情况分析:比赛结束后一个队伍的得分就是所有队员得分的总分,除以队员数,就是每个队员平均得分。
摊销分析:针对的是最坏情况下的平均,既每个队员表现的都是平时训练时的最差水平
摊销分析(最差情况下的平均)≠ 平均情况分析!
摊销分析vs最坏时间复杂性分析
1.最坏时间复杂性分析:分析算法的最坏时间复杂度。
2.摊销分析:连续执行n次最坏情况分析可能没有反应现实,因为特定的算法和数据结构,最坏情况不一定连续发生。
摊销分析(执行n次平均)≠ 最坏时间复杂性分析(单次)
摊销分析的目的:
找出算法进行一系列操作时,在最坏情况下一个操作的平均成本,主要从算法的执行步骤,算法的数据结构两个方面分析。
概率分析vs摊销分析
概率分析:
1.考虑算法平均执行时间
2.考虑算法的所有可能输入
3.可能涉及使用概率,称为期望运行时间
摊销分析:
1.执行步骤中的平均最坏情况下的性能
2.针对某一个数据结构的操作
3.不涉及概率问题
摊销分析的三种方法:
聚类法 |
先求出合计,然后求平均。求出n个操作的总代价上界T(n),每个操作的摊销代价T(n)/n。 |
简单 常用 |
会计法 |
计算每个操作的摊销成本,累加每个个体操作的摊销成本,得到一组操作的总摊销成本。 |
复杂 |
势能法 | 类似记账,存款不是某一操作的,而是整个数据结构的势。 |
可靠 准确 |
方法一:聚类分析
栈操作的聚类分析,核心思想
对数据结构共有n个操作,最坏情况下:
操作1:t1
操作2:t2
操作3:t3
.
.
.
操作n:tn
T(n)=t1+t2+...+tn
摊销代价T(n)/n
栈操作的聚类分析:
栈的主要特性为先进后出,主要操作有压栈(push)和出栈(pop);
PUSH(S,x):将x压入栈S,时间成本O(1);
POP(S):将栈顶元素弹出,时间成本O(1);
MULTIPOP(S,k):将栈S中k个元素连续弹出,如果元素不到k个,则一直将栈谈空为止,操作成本min(|S|,k);
提问:假如我们进行了一组压栈,出栈的操作,一共n次,最坏情况下,n次操作的成本是多少?
聚类分析:
由于栈这种数据结构如果进行了n次push操作,则pop操作的次数不可能大于n次,所以最坏的情况是进行了n-1次push操作,最后一次执行MULTIPOP。
操作成本为2(n-1)次。一组n次PUSH、MULTIPOP操作的总成本为O(n),分摊到n个操作上,每个操作的摊销成本只有O(1);
注:
因为不知到PUSH、MULTIPOP各进行了多少次,无法单独计算每个操作的成本,但可以计算出总成本的上限。适合使用聚类分析。
这种将一类操作聚集在一起进行总成本分析,然后平坦到每个操作上的思想,就是聚类分析。
二进制计数器的聚类分析
所有时钟计数器抽象层面上看成一个二进制计数器,一个n位的二进制计数器用数组A[n-1]来表示,A[0]为最低有效位,A[n-1]为最高有效位。
从0开始往上计数,到2的n次方为止,计数过程中,不同字位可能发生变化,1变0,0变1,假定每次反转成本为1。
如0111,加一之后为1000,翻转了4位,则这次操作成本为4。
递增函数实现如下:
INCREMENT(A) i=0; while(i<n&&A[i]=1){ A[i]=0; i++; } if(i<n){ A[i]=1; }
计数到2的n次方,总共递增2的n次,在这n次递增操作中,字位翻转总数
n(1+1/2+1/4+1/8+...1/2^n)=2n
所以n次递增操作的成本只用O(n),平坦之后,每次的操作成本为O(1)。
方法二:会计分析
聚类分析的特点是将所有操作看作一个整体,计算总成本,用总成本除以操作数获得摊销成本。另一种方法就是,分别计算每个操作的成本,然后累加再平均,这就是会计分析。
会计分析和聚类分析之间有个显著的不同:聚类分析的所有操作摊销成本是一样的,而会计分析里不同操作可以有不同的摊销成本。
以栈为例,当压入一个元素时,实际成本为1,但压进去的总归要弹出来,它必然还有个弹出的成本。现在我们将一个操作现在和以后产生的成本总计下来,压栈的摊销成本为2。而后续POP和MULTIPOP的成本已经考虑过了,所以摊销成本为0。
所以,对于一个n个操作的序列,总摊销成本最多为2n,因此总摊销成本为O(n),单个操作的摊销成本为O(1)。
方法三:势能分析
会计分析中,将未来可能产生的成本记录下来,称为信用,存放在个体操作中。这并不是唯一方法,将信用存放在整个数据结构中供所有元素共享,存放在数据结构中的信用,可以看作一种潜在的支付能力,我们称为势能,这种分析方法被称为势能分析。