算法设计 分析篇（摊销分析）
摊销分析
摊销是一种，功过相抵的思想：
①中国古代，某大臣因为犯错，看在立下汗马功劳的份上，从轻发落。
②图灵被发现时个同性恋者，但因破解了德国海军密码，抵消罪过。
摊销分析vs平均情况分析
以一场篮球比赛为例。
平均情况分析：比赛结束后一个队伍的得分就是所有队员得分的总分，除以队员数，就是每个队员平均得分。
摊销分析：针对的是最坏情况下的平均，既每个队员表现的都是平时训练时的最差水平
摊销分析（最差情况下的平均）≠ 平均情况分析！
摊销分析vs最坏时间复杂性分析
1.最坏时间复杂性分析：分析算法的最坏时间复杂度。
2.摊销分析：连续执行n次最坏情况分析可能没有反应现实，因为特定的算法和数据结构，最坏情况不一定连续发生。
摊销分析（执行n次平均）≠ 最坏时间复杂性分析（单次）
摊销分析的目的：
找出算法进行一系列操作时，在最坏情况下一个操作的平均成本，主要从算法的执行步骤，算法的数据结构两个方面分析。
概率分析vs摊销分析
概率分析：
1.考虑算法平均执行时间
2.考虑算法的所有可能输入
3.可能涉及使用概率，称为期望运行时间
摊销分析：
1.执行步骤中的平均最坏情况下的性能
2.针对某一个数据结构的操作
3.不涉及概率问题
摊销分析的三种方法：
| 聚类法 |
先求出合计，然后求平均。求出n个操作的总代价上界T(n)，每个操作的摊销代价T(n)/n。 |
简单 常用 |
| 会计法 |
计算每个操作的摊销成本，累加每个个体操作的摊销成本，得到一组操作的总摊销成本。 |
复杂 |
| 势能法 | 类似记账，存款不是某一操作的，而是整个数据结构的势。 |
可靠 准确 |
方法一：聚类分析
栈操作的聚类分析，核心思想
对数据结构共有n个操作，最坏情况下：
操作1：t1
操作2：t2
操作3：t3
.
.
.
操作n：tn
T(n)=t1+t2+...+tn
摊销代价T(n)/n
栈操作的聚类分析：
栈的主要特性为先进后出，主要操作有压栈（push）和出栈（pop）；
PUSH(S,x)：将x压入栈S，时间成本O(1);
POP(S)：将栈顶元素弹出，时间成本O(1);
MULTIPOP(S,k)：将栈S中k个元素连续弹出，如果元素不到k个，则一直将栈谈空为止，操作成本min(|S|,k);
提问：假如我们进行了一组压栈，出栈的操作，一共n次，最坏情况下，n次操作的成本是多少？
聚类分析：
由于栈这种数据结构如果进行了n次push操作，则pop操作的次数不可能大于n次，所以最坏的情况是进行了n-1次push操作，最后一次执行MULTIPOP。
操作成本为2（n-1）次。一组n次PUSH、MULTIPOP操作的总成本为O(n)，分摊到n个操作上，每个操作的摊销成本只有O(1)；
注：
因为不知到PUSH、MULTIPOP各进行了多少次，无法单独计算每个操作的成本，但可以计算出总成本的上限。适合使用聚类分析。
这种将一类操作聚集在一起进行总成本分析，然后平坦到每个操作上的思想，就是聚类分析。
二进制计数器的聚类分析
所有时钟计数器抽象层面上看成一个二进制计数器，一个n位的二进制计数器用数组A[n-1]来表示，A[0]为最低有效位，A[n-1]为最高有效位。
从0开始往上计数，到2的n次方为止，计数过程中，不同字位可能发生变化，1变0，0变1，假定每次反转成本为1。
如0111，加一之后为1000，翻转了4位，则这次操作成本为4。
递增函数实现如下：
INCREMENT(A) i=0; while(i<n&&A[i]=1){ A[i]=0; i++; } if(i<n){ A[i]=1; }
计数到2的n次方，总共递增2的n次，在这n次递增操作中，字位翻转总数
n（1+1/2+1/4+1/8+...1/2^n）=2n
所以n次递增操作的成本只用O(n)，平坦之后，每次的操作成本为O(1)。
方法二：会计分析
聚类分析的特点是将所有操作看作一个整体，计算总成本，用总成本除以操作数获得摊销成本。另一种方法就是，分别计算每个操作的成本，然后累加再平均，这就是会计分析。
会计分析和聚类分析之间有个显著的不同：聚类分析的所有操作摊销成本是一样的，而会计分析里不同操作可以有不同的摊销成本。
以栈为例，当压入一个元素时，实际成本为1，但压进去的总归要弹出来，它必然还有个弹出的成本。现在我们将一个操作现在和以后产生的成本总计下来，压栈的摊销成本为2。而后续POP和MULTIPOP的成本已经考虑过了，所以摊销成本为0。
所以，对于一个n个操作的序列，总摊销成本最多为2n，因此总摊销成本为O(n)，单个操作的摊销成本为O(1)。
方法三：势能分析
会计分析中，将未来可能产生的成本记录下来，称为信用，存放在个体操作中。这并不是唯一方法，将信用存放在整个数据结构中供所有元素共享，存放在数据结构中的信用，可以看作一种潜在的支付能力，我们称为势能，这种分析方法被称为势能分析。
