割点和桥

 

标题1

一、定义

　　连通度（百度百科）：

　　　　割点集合：无向图中，删除集合中所有的点以及点所连接的边后，无向图不连通的集合

　　　　割边集合：无向图中，删除集合中所有的边后，无向图不连通的集合

　　　　点连通度：无向图中，割点集合中最小集合中的元素个数

　　　　边连通度：无向图中，割边集合中的最小集合的元素个数

　　双联通图，割点，和桥：

　　　　双联通图：无向图中，边连通度或者点连通度大于1

　　　　桥：图的边连通度为1，割边集合中的唯一元素集合中的元素为桥

　　　　割点：图的点连通度为1，割点集合中的唯一元素集合中的元素为桥

　　双联通分量：

　　　　在图G所有子图中，如果G'是双联通子图，G'不是任何一个双连通子图的真子集，则G'是一个极大双联通子图，特殊的点双联通分量又叫做块

　　

二、Tagan

　　割点的条件：

　　　　(满足一个即可)

　　　　1.如果u树根，那么如果u的子树超过1，则u为割点

　　　　2.如果u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(u为v在搜索树中的父亲)，并使得DFN(u)<=low(v)（删去u以及v以及v的子树不能到达u的祖先）

 　　

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define FORa(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define FORs(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)

using namespace std;

const int N=100,M=200;
int n,m,num_edge,head[N+1],dfn[N+1],low[N+1],index;
bool cut[N+1];
struct Edge{
    int next,to;
}edge[2*M+2]; 
inline void Add_edge(int from,int to){
    edge[++num_edge]=(Edge){head[from],to},head[from]=num_edge;
}
inline int min(int fa,int fb){return fa<fb?fa:fb;}
void Tarjan(int x)
{
    low[x]=dfn[x]=++index;
    int cnt=0;
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].next)
    {
        if(!dfn[edge[i].to])
        {
            cnt++;
            Tarjan(edge[i].to),low[x]=min(low[x],low[edge[i].to]);
            if(cnt>1&&x==1||dfn[x]<=low[edge[i].to])    cut[x]=1;
        }    
        else low[x]=min(low[x],dfn[edge[i].to]);
    }
}
int main()
{
    int from,to;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    FORa(i,1,m)
    {
        scanf("%d%d",&from,&to);
        Add_edge(from,to),Add_edge(to,from);
    }
    Tarjan(1);
    FORa(i,1,n) printf("%d ",cut[i]);
    return 0;
}
/*7 8
1 5 
1 4
4 5
1 2
1 3
4 3
3 7
3 6*/

　　桥的条件：

　　　　(满足一个即可)

　　　　1.如果u树根，那么如果u的子树超过1，则u为割点

　　　　2.如果u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(u为v在搜索树中的父亲)，并使得DFN(u)<=low(v)（删去u以及v以及v的子树不能到达u的祖先）

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define FORa(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define FORs(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)

using namespace std;
const int N=1000,M=2000;
int n,m,num_edge=1,top,index,head[N+1],dfn[N+1],low[N+1],fa[N+1];
//注意num_edge是从奇数开始的，因为只有从奇数开始，第一个数就是偶数，那么偶数^1就是比它大1的奇数了 
bool bridge[M+1];
struct Edge{
    int next,to;
}edge[M+1];
inline void Add_edge(int from,int to)
{
    edge[++num_edge]=(Edge){head[from],to},head[from]=num_edge;
}
inline int min(int fa,int fb){return fa<fb?fa:fb;}
inline void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++index;
    for(int i=head[u],v;i;i=edge[i].next)
    {
        v=edge[i].to;
        if(i==(fa[u]^1)) continue;
        if(!dfn[v])
        {
            fa[v]=i,Tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>dfn[u]) bridge[fa[v]]=bridge[fa[v]^1]=1;
        }
        else low[u]=min(low[u],dfn[v]);                                         
    }
}
int main()
{
    int from,to;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    FORa(i,1,m)
    {
        scanf("%d%d",&from,&to);
        Add_edge(from,to),Add_edge(to,from);
    }
    Tarjan(1);
    FORa(i,1,num_edge)
        if(bridge[i])
        {
            printf("%d",edge[i].to);
            printf(" %d\n",edge[i+1].to);
        }
    return 0;
}
/*12
16
12 11
11 8
11 10
8 10
10 9
9 8
9 7
7 6
5 7
6 5
6 4
6 3
4 3
2 3
3 2
4 1*/

 

三、求双联通分量 

　　点双联通分量：

　　　　　在求割点的时候，每一次找到树枝边和后向边，就将边加入到栈中，如果发现点u是割点，将栈中边(u,v)以上的边都弹出栈。这些边与边的点组成的图就是一个点强连通分量

　　边双联同分量　　　　　

　　　　　在求桥的时候，求出桥(u,v)删去所有桥，剩下的连通块都是一个双联通分量，不包含桥

　　将有桥的连通图变成双联通图：

　　　　　删去桥。将剩下的连通图缩成一个点，因为每一个连通图是一个边双联通分量，在边双联通图中加边不会减少桥的数目，所以先缩点

　　　　　 我们可以看如果没有割边，根据树的性质，则将叶子结点连在一起就行，所以要连接的边数为（叶子结点+1）/2