中国剩余定理

 

一、孙子剩余定理怎么来的(百度百科)

　　孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

 

 

二、什么是孙子剩余定理(百度百科)

 

　　用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：

　　

　　有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,mn两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,an，方程组  

　　有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

　　设 
　　是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设

　　  

　　是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。设 为  模  的数论倒数(  为  模  意义下的逆元) 方程组  的通解形式为 

　　在模 的意义下，方程组  只有一个解： 

　　　　证明：　

　　　　　　从假设可知，对任何 ，由于  ，所以  这说明存在整数  使得  　　　　　　

　　　　　　这样的  叫做  模  的数论倒数。考察乘积  可知：所以  

　　　　　　满足：

　　　　　　　　 　　　　　　

　　　　　　这说明  就是方程组  的一个解。另外，假设  和  都是方程组  的解，那么：而  两两互质，这说明  整除  . 所以方程组  的任何两个解之间必然相差  的整倍。

　　　　　　而另一方面，  是一个解，同时所有形式为： 的整数也是方程组  的解。所以方程组所有的解的集合就是：

 

 

三、实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define FORa(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define FORs(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)

using namespace std;

const int T=1000;
int t,w[T+1],b[T+1],n=1,ans;
int Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int ret,temp;
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ret=Exgcd(b,a%b,x,y);
    temp=x;
    x=y;
    y=temp-a/b*y;
    return ret;
}
int main()
{
    int x,y;
    scanf("%d",&t);
    FORa(i,1,t) scanf("%d%d",&w[i],&b[i]),n*=w[i];
    FORa(i,1,t)
    {
        int m=n/w[i];
        Exgcd(w[i],m,x,y);
        ans=(ans+y*b[i]*m)%n;
    }
    if(ans>0) printf("%d",ans);
    else printf("%d",ans+n);
    return 0;
}
/*3
3 2
5 3
7 2*/