同余

 

一、同余概念

　　给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

二、同余性质

　　1.自反性

　　　　a≡a（mod m）

　　2.对称性

　　　　a≡b（mod m），则 b≡a（mod m）

　　3.传递性

　　　　a≡b（mod m） ，b≡c（mod m）

　　　　则a≡c（mod m）

　　4.同加性

　　　　a≡b（mod m），则a+c≡b+c（mod m）

　　5.同乘性

　　　　1.a≡b（mod m），则a*c≡b*c（mod m）

　　　　2.a≡b（mod m），c≡d（mod m）

　　　　a*c≡b*d（mod m）

　　6.同幂性

　　　　a≡b（mod m）

　　　　则power（a，n）≡power（b，n）≡（mod m）

　　7.乘法模推论

　　　　a*b mod k =

　　　　（a mod k）*（b mod k） mod k

　　8.结合模推论

　　　　若 a mod p=x，a mod q=x

　　　　p，q互质，则 a mod p*q=x

　　　　证明

• a=p*s+x,a=q*t+x => s*p=t*q;
• 则一定有整数r，使得s=r*q (一个数相等，他们的质因子一定相等，又因为p,q互质，所以s含有q的所有质数积含有q，但又要等式相等，所以还要乘以r=t/p)
• 所以 a=r*p*q+x, 得出a mod p*q=x

　　9.没有同除性

三、同余应用

　　快速幂

int a,b,c,ans=1;
int quick_pow()
{
    a=read(),b=read(),c=read();
    for(;b;b>>=1,a=a*a%c)
        if(b&1)
            ans=ans*a%c;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}