2019.7.9 校内测试题 史密斯数
题目
史密斯数(smith.cpp,1s,128MB)
【问题描述】:
美国有一位数字家名叫阿尔伯特·威兰斯基，他姐夫史密斯非常喜欢研究数学，所以两人经常在一起研讨各种数学问题。有时，两人碰不到一起，就习惯性地用电话交流。
两人刚结束电话交谈，史密斯突然灵感来临，对威兰斯基的电话号码“4937775”产生了兴趣，总觉得这是个特别的数。可它的特殊之处究竟在哪儿呢？史密斯开始思索考证起来，他先把 4937775 分解质因数：4937775=3×5×5×65837，然后再把 4937775 所有质因数各位上的数字相加得：3＋5＋5＋6＋5＋8＋3＋7=42，接着他又把 4937775 各位上的数字相加得：4＋9＋3＋7＋7＋7
＋5=42，秘密终于找到了，原来这两个和相等。这真有意思，难道是巧合么？有没有其他的数也有此特点呢？结果发现，所有质数都是具有如此特点。
后来的数学家们把这样的数叫做“史密斯数”，而且还决定质数（简单不复杂）不属于斯密斯数。除质数之外还有许多数具有这样独特的性质，其中最小的数是 4。大家不妨检查一下，4=2×2，2＋2=4。类似有，22=2×11,2＋2=2＋1＋1；27=3×3×3，2＋7=3＋3＋3。
你的任务是寻找最接近而且大于给定的数的斯密斯数。
【输入文件】:
只有一行一个整数 N，N 不超过 8 位数字。
【输出文件】:
一个整数，即第一个大于给定的数的斯密斯数。
【输入输出样例】：
smith.in
4937774
smith.out
4937775
【数据规模】:
考试得分： 0
主要算法 ： 质数（欧拉素数筛）
应试策略：
- 可以明确的是，考试时题目都没有看懂，到底什么是斯密斯数（没有质数哦！），考试时将质数也看作斯密斯数了
- 错误中又将真正的斯密斯数打表打出，等了1500多秒，因为想要现将素数筛出，只需要O(n)，能跑，但非质数“斯密斯数”*（史密斯数）就有点难跑了，所以打表（其实这就是foolish的想法，因为会爆掉代码50KB的限制，事实上是2.XXMB，）
- 将“斯密斯数”放入到一个数组中二分查找（真的有点stupid）
代码：
#include<map> #include<math.h> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define FORa(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++) #define FORs(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--) #define gc pa==pb&&(pb=(pa=buf)+fread(buf,1,10000,stdin),pa==pb)?EOF:*pa++ #define File(name) freopen(name".in","r",stdin),freopen(name".out","w",stdout) using namespace std; static char buf[10000],*pa=buf,*pb=buf; inline int read(); const int N=4000000,BN=278412; int n,cnt,prime[N+1],v[N+1]; int a[BN+4]={4,22,27,58,85,94,121,166,202,}//后面的省略，不然上传不了啊！ map<int,bool> mp; void Oulashai() { FORa(i,2,n) { if(!v[i]) v[i]=i,prime[++cnt]=i,mp[i]=1; FORa(j,1,cnt) { if(prime[j]>v[i]||prime[j]*i>n) break; v[prime[j]*i]=prime[j]; } } } int Back(int x) { int cnt=0; while(x) cnt=cnt+x%10,x/=10; return cnt; } bool Check(int x) { int fx=x,cnt1=0,cnt2=Back(x); FORa(i,2,sqrt(fx)) { int ct=0,backi=Back(i); if(fx%i==0) { while(fx%i==0) { fx/=i,ct++; if(cnt1+ct*backi>cnt2) return 0; } cnt1=cnt1+ct*backi; } } if(fx>1) cnt1+=Back(fx); return cnt1==cnt2; } int main() { File("smith"); n=read(),Oulashai(); /* FORa(i,1000000,n) { if(!mp[i]) if(Check(i)) printf("%d,",i); }*/ FORa(i,0,BN+2) mp[a[i]]=1; FORa(i,n+1,N+20) { if(mp[i]) { printf("%d",i); exit(0); } } return 0; } inline int read() { register int x(0);register int f(1);register char c(gc); while(c<'0'||c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=gc; while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=gc; return x*f; }
非完美算法：
请看正解
正解：
- 已知大于N的最大的斯密斯数为N的最大值的基础上加上2000左右（打表小函数得出）,筛选1到最大斯密斯数之间的质数，时间复杂度的为O（1e9），勉强能过，空间复杂度为bool[1e9],又因为这个区间质数最多为5762455(小函数提前计算)，则再加上int[5762455]，勉强还有点空间
- 从n+1开始寻找合数且为"史密斯数"，即为斯密斯数.
代码
#include<math.h> #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #define FORa(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++) #define FORs(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--) #define gc pa==pb&&(pb=(pa=buf)+fread(buf,1,10000,stdin),pa==pb)?EOF:*pa++ #define File(name) freopen(name".in","r",stdin),freopen(name".out","w",stdout) using namespace std; static char buf[10000],*pa=buf,*pb=buf; inline int read(); const int N1=100000000,N2=5762455; int n,cnt,prime[N2+1]; bool bz[N1+1]; void Oulashai(int fn) { FORa(i,2,fn) { if(!bz[i]) prime[++cnt]=i; FORa(j,1,cnt) { if(i*prime[j]>fn) break; bz[i*prime[j]]=true; if(i%prime[j]==0) break; } } } int Back(int x) { int ct=0; while(x) ct=ct+x%10,x/=10; return ct; } bool Check(int x) { int fx=x,cnt1=0,cnt2=Back(x); FORa(i,2,sqrt(fx)) { int ct=0,backi=Back(i); if(fx%i==0) { while(fx%i==0) { fx/=i,ct++; if(cnt1+ct*backi>cnt2) return 0; } cnt1=cnt1+ct*backi; } } if(fx>1) cnt1+=Back(fx); return cnt1==cnt2; } int main() { File("smith"); n=read(),Oulashai(n+2000); int p=n; while(1) { ++p; if(bz[p]&&Check(p)) { printf("%d",p); exit(0); } } return 0; } inline int read() { register int x(0);register int f(1);register char c(gc); while(c<'0'||c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=gc; while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=gc; return x*f; }
总结：
- Handsome guy and beaty，读题真的very important！
- 学会正确分析时空复杂度1B=1字节哦！
