最短路
最短路
一、求出最短路径的长度
以下没有特别说明的话，dis[u][v]表示从u到v最短路径长度，w[u][v]表示连接u，v的边的长度。
1.Floyed-Warshall算法 O(N3)
简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。Floyed的时间复杂度是O (N3)，适用于出现负边权的情况。
算法描述：
初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。
如果不相连则dis[u][v]=0x7fffffff
For (k = 1; k <= n; k++)
For (i = 1; i <= n; i++)
For (j = 1; j <= n; j++)
If (dis[i][j] >dis[i][k] + dis[k][j])
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
算法结束：dis[i][j]得出的就是从i到j的最短路径。
算法分析&思想讲解：
三层循环，第一层循环中间点k，第二第三层循环起点终点i、j，算法的思想很容易理解：如果点i到点k的距离加上点k到点j的距离小于原先点i到点j的距离，那么就用这个更短的路径长度来更新原先点i到点j的距离。
在上图中，因为dis[1][3]+dis[3][2]<dis[1][2]，所以就用dis[1][3]+dis[3][2]来更新原先1到2的距离。
我们在初始化时，把不相连的点之间的距离设为一个很大的数，不妨可以看作这两点相隔很远很远，如果两者之间有最短路径的话，就会更新成最短路径的长度。Floyed算法的时间复杂度是O(N3)。 Floyed算法变形：
如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=true，不相连的两点设为dis[i][j]=false，用Floyed算法的变形：
For (k = 1; k <= n; k++)
For (i = 1; i <= n; i++)
For (j = 1; j <= n; j++)
dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]);
用这个办法可以判断一张图中的两点是否相连。
最后再强调一点：用来循环中间点的变量k必须放在最外面一层循环。
2.Dijkstra算法O (N2)
用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。
Dijkstra的时间复杂度是O (N2)，它不能处理存在负边权的情况。
算法描述：
设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
（1）初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=0;
（2）For (i = 1; i <= n ; i++)
1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。
2.u标记为已确定最短路径
3.For 与u相连的每个未确定最短路径的顶点v
if (dis[u]+w[u][v] < dis[v])
{dis[v] = dis[u] + w[u][v];pre[v] = u;}
（3）算法结束：dis[v]为s到v的最短距离；pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
算法分析&思想讲解：
从起点到一个点的最短路径一定会经过至少一个“中转点”（例如下图1到5的最短路径，中转点是2。特殊地，我们认为起点1也是一个“中转点”）。显而易见，如果我们想求出起点到一个点的最短路径，那我们必然要先求出中转点的最短路径（例如我们必须先求出点2 的最短路径后，才能求出从起点到5的最短路径）。
换句话说，如果起点1到某一点V0的最短路径要经过中转点Vi，那么中转点Vi一定是先于V0被确定了最短路径的点。
我们把点分为两类，一类是已确定最短路径的点，称为“白点”，另一类是未确定最短路径的点，称为“蓝点”。如果我们要求出一个点的最短路径，就是把这个点由蓝点变为白点。从起点到蓝点的最短路径上的中转点在这个时刻只能是白点。
Dijkstra的算法思想，就是一开始将起点到起点的距离标记为0，而后进行n次循环，每次找出一个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从蓝点变为白点。随后枚举所有的蓝点vi，如果以此白点为中转到达蓝点vi的路径dis[u]+w[u][vi]更短的话，这将它作为vi的“更短路径”dis[vi]（此时还不确定是不是vi的最短路径）。
就这样，我们每找到一个白点，就尝试着用它修改其他所有的蓝点。中转点先于终点变成白点，故每一个终点一定能够被它的最后一个中转点所修改，而求得最短路径。
3.Bellman-Ford算法O(NE)
简称Ford（福特）算法，同样是用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，也是一种单源最短路径算法。能够处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况（下文会有详细说明）。
算法时间复杂度：O(NE)，N是顶点数，E是边数。
算法实现：
设s为起点，dis[v]即为s到v的最短距离，pre[v]为v前驱。w[j]是边j的长度，且j连接u、v。
初始化：dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），pre[s]=0
For (i = 1; i <= n-1; i++)
For (j = 1; j <= E; j++) //注意要枚举所有边，不能枚举点。
if (dis[u]+w[j]<dis[v]) //u、v分别是这条边连接的两个点。
{dis[v] =dis[u] + w[j];pre[v] = u;}
算法分析&思想讲解：
Bellman-Ford算法的思想很简单。一开始认为起点是白点(dis[1]=0)，每一次都枚举所有的边，必然会有一些边，连接着白点和蓝点。因此每次都能用所有的白点去修改所有的蓝点，每次循环也必然会有至少一个蓝点变成白点。
负权回路：
虽然Bellman-Ford算法可以求出存在负边权情况下的最短路径，却无法解决存在负权回路的情况。
负权回路是指边权之和为负数的一条回路，上图中②-④-⑤-③-②这条回路的边权之和为-3。在有负权回路的情况下，从1到6的最短路径是多少？答案是无穷小，因为我们可以绕这条负权回路走无数圈，每走一圈路径值就减去3，最终达到无穷小。
所以说存在负权回路的图无法求出最短路径，Bellman-Ford算法可以在有负权回路的情况下输出错误提示。
如果在Bellman-Ford算法的两重循环完成后，还是存在某条边使得：dis[u]+w<dis[v]，则存在负权回路：
For每条边(u,v)
If (dis[u]+w<dis[v]) return False
如果我们规定每条边只能走一次，在这个前提下可以求出负权回路的最短路径。这个问题就留待读者自己思考（提示：对Floyed做一点小处理）。
4、SPFA算法O(kE)
SPFA是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
主要思想：
初始时将起点加入队列。每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若某个相邻的点修改成功，则将其入队。直到队列为空时算法结束。
这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法。
SPFA 在形式上和广度优先搜索非常类似，不同的是广度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是说一个点修改过其它的点之后，过了一段时间可能会获得更短的路径，于是再次用来修改其它的点，这样反复进行下去。
算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。
算法实现：
dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度。pre[v]记录前趋。team[1..n]为队列，头指针head，尾指针tail。布尔数组exist[1..n]记录一个点是否现在存在在队列中。
初始化：dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），memset(exist,false,sizeof(exist));
起点入队team[1]=s; head=0; tail=1;exist[s]=true;
do
{
1、头指针向下移一位，取出指向的点u。
2、exist[u]=false;已被取出了队列
3、for与u相连的所有点v
//注意不要去枚举所有点，用数组模拟邻接表存储
if (dis[v]>dis[u]+w[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+w[u][v];pre[v]=u;
if (!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队。
{//尾指针下移一位，v入队;exist[v]=true;}
｝
}while (head < tail);
循环队列：
采用循环队列能够降低队列大小，队列长度只需开到2*n+5即可。例题中的参考程序使用了循环队列。
二、输出最短路径
1.单源最短路径的输出
Dijkstra，Bellman-Ford，SPFA都是单源最短路径算法，它们的共同点是都有一个数组pre[x] 用来记录从起点到x的最短路径中，x的前驱结点是哪个。每次更新，我们就给pre[x]赋一个新值，结合上面的思想讲解，相信对于记录某点的前驱结点是不难理解的。那么怎么利用pre[x]数组输出最短路径方案呢？
感谢各位与信奥一本通的鼎力相助！
