树

Tree

Node节点  root树根 degree度 leaf 树叶

level层次 depth深度 forest森林  BT二叉树

树是一种非线性的数据结构，用它能很好地描述有分支和层次特性的数据集合。树型结构在现实世界中广泛存在，如社会组织机构的组织关系图就可以用树型结构来表示。树在计算机领域中也有广泛应用，如在编译系统中，用树表示源程序的语法结构。在数据库系统中，树型结构是数据库层次模型的基础，也是各种索引和目录的主要组织形式。在许多算法中，常用树型结构描述问题的求解过程、所有解的状态和求解的对策等。在这些年的国内、国际信息学奥赛、大学生程序设计比赛等竞赛中，树型结构成为参赛者必备的知识之一，尤其是建立在树型结构基础之上的搜索算法。

在树型结构中，二叉树是最常用的结构，它的分支个数确定、又可以为空、并有良好的递归特性，特别适宜于程序设计，因此也常常将一般树转换成二叉树进行处理。

一棵树是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中：

（1）每个元素称为结点(node)；

（2）有一个特定的结点，称为根结点或树根（root）；

（3）除根结点外，其余结点能分成m（m>=0）个互不相交的有限集合T0,T1,T2,……Tm-1。其中的每个子集又都是一棵树，这些集合称为这棵树的子树。

如下图是一棵典型的树：

 

（1）树是递归定义的；

（2）一棵树中至少有1个结点。这个结点就是根结点，它没有前驱，其余每个结点都有唯一的一个前驱结点。每个结点可以有0或多个后继结点。因此树虽然是非线性结构，但也是有序结构。至于前驱后继结点是哪个，还要看树的遍历方法，我们将在后面讨论；

（3）一个结点的子树个数，称为这个结点的度（degree，结点1的度为3，结点3的度为0）；度为0的结点称为叶结点（树叶leaf，如结点3、5、6、8、9）；度不为0的结点称为分支结点（如结点1、2、4、7）；根以外的分支结点又称为内部结点（结点2、4、7）；树中各结点的度的最大值称为这棵树的度（这棵树的度为3）。

（4）在用图形表示的树型结构中，对两个用线段（称为树枝）连接的相关联的结点，称上端结点为下端结点的父结点，称下端结点为上端结点的子结点。称同一个父结点的多个子结点为兄弟结点。如结点1是结点2、3、4的父结点，结点 2、3、4是结点1的子结点，它们又是兄弟结点，同时结点2又是结点5、6的父结点。称从根结点到某个子结点所经过的所有结点为这个子结点的祖先。如结点1、4、7是结点8 的祖先。称以某个结点为根的子树中的任一结点都是该结点的子孙。如结点7、8、9都是结点4的子孙。

 （5）定义一棵树的根结点的层次（level）为1，其它结点的层次等于它的父结点层次加1。如结点2、3、4的层次为1，结点5、6、7的层次为2，结点8、9的层次为3。一棵树中所有的结点的层次的最大值称为树的深度（depth）。如这棵树的深度为3。

 （6）对于树中任意两个不同的结点，如果从一个结点出发，自上而下沿着树中连着结点的线段能到达另一结点，称它们之间存在着一条路径。可用路径所经过的结点序列表示路径，路径的长度等于路径上的结点个数减1。如上图中，结点1和结点8之间存在着一条路径，并可用（1、4、7、8）表示这条路径，该条路径的长度为3。注意，不同子树上的结点之间不存在路径，从根结点出发，到树中的其余结点一定存在着一条路径。

 （7）森林（forest）是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

 

树的存储结构

方法1：数组，称为“父亲表示法”。

　　const int m = 10;           树的结点数

　　struct node

　　{int data, parent;};        数据域，指针域

　　node tree[m];

优缺点：利用了树中除根结点外每个结点都有唯一的父结点这个性质。很容易找到树根，但找孩子时需要遍历整个线性表。

 

方法2：树型单链表结构，称为“孩子表示法”。每个结点包括一个数据域和一个指针域（指向若干子结点）。称为“孩子表示法”。假设树的度为10，树的结点仅存放字符，则这棵树的数据结构定义如下：

const int m = 10;           树的度

typedef struct node;

typedef node *tree;

struct node

{

    char data;             数据域

    tree child[m];          指针域，指向若干孩子结点

};

tree t;

缺陷：只能从根（父）结点遍历到子结点，不能从某个子结点返回到它的父结点。但程序中确实需要从某个结点返回到它的父结点时，就需要在结点中多定义一个指针变量存放其父结点的信息。这种结构又叫带逆序的树型结构。

 

方法3：树型双链表结构，称为“父亲孩子表示法”。每个结点包括一个数据域和二个指针域（一个指向若干子结点，一个指向父结点）。假设树的度为10，树的结点仅存放字符，则这棵树的数据结构定义如下：

const int m = 10;           树的度

typedef struct node;

typedef node *tree;         声明tree是指向node的指针类型

struct node

{

    char data;             数据域

    tree child[m];          指针域，指向若干孩子结点

    tree father;            指针域，指向父亲结点

};

tree t;

 

方法4：二叉树型表示法，称为“孩子兄弟表示法”。也是一种双链表结构，但每个结点包括一个数据域和二个指针域（一个指向该结点的第一个孩子结点，一个指向该结点的下一个兄弟结点）。称为“孩子兄弟表示法”。假设树的度为10，树的结点仅存放字符，则这棵树的数据结构定义如下：

　　typedef struct node;

　　typedef node *tree;

　　struct node

　　{

　　    char data;            数据域

　　    tree firstchild, next;指针域，分别指向第一个孩子结点和下一个兄弟结点

　　};

　　tree t;

 

树的遍历

　　

A、先序遍历：根左右

如上图先序遍历的结果为：125634789；

B、中序遍历：左根右

　　C、后序遍历：左右根

如上图后序遍历的结果为：562389741；

　　D、层次遍历：

如上图层次遍历的结果为：123456789；

E、叶结点遍历：

如上图按照这个思想访问的结果为：56389；

感谢各位与信奥一本通的鼎力相助！