递推

递推

 递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。

递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

五种典型的递推关系

Ⅰ.Fibonacci数列

　　　 Fx=Fx-1+Fx-2      边界条件：F0=0，F1=1

Ⅱ.Hanoi塔问题

Fn=2^(n-1)+1       边界条件：h1=1

Ⅲ.平面分割问题

　　  Fn=Fn-1+2(n-1      边界条件是a1=1

Ⅳ.Catalan数

　　   f（n）=h（n）= C（2n,n）/（n+1）= c（2n,n）-c（2n,n+1）（n=0，1，2，……）。最后，令f（0）=1，f（1）=1。f(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)  ,h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/h(n-1)  ,  h(n)=C(2n,n)/(n+1);

Ⅴ.第二类Stirling数

　　　 S2(n,m)=mS2(n-1,m)+S2(n-1,m-1)   (n>1,m1)

　　　 S2(n,0)=0；S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(k>n)。

 

【总结】：

1. 首先，面对递推题的时候，大部分题目你是一时半会想不起来的，所以你就需要一种习惯，那就是视草稿纸是免费的，在草稿纸上挥动笔尖，记录流程，总结规律，得出算法。
2. 务必证明算法的正确性，在此之前带有优化的暴搜是非常必要的
3. 草稿纸需要有美感，对草稿纸需要进行严谨的分块，注意推论的逻辑性

感谢各位与信奥一本通的鼎力相助！