求逆元

求逆元

拓展欧几里得

• 求a的在模n下的逆元，实际上就是求一个整数x，使得

ax = 1 (mod n)

• 于是我们通过拓展gcd解方程来求解

ax + ny = gcd(a,n)

• 在如上方程中，只有满足以下才存在逆元

gcd(a,n) = 1

• 则

(ax + ny) % n = ax % n = 1 % n = 1

• 即

ax = 1 (mod n)

代码如下：

//get integer x and y, making ax + by = d and minimise |x| + |y|. for d = gcd(a,b)
//though a and b are integers, x and y still may be lager than max_integer
void exgcd(long long a, long long b, long long &d, long long &x, long long &y) {
	if (!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
	else { exgcd(b, a % b, d, y, x); y -= x * (a / b); }
}

//get inverse element of a in condition of mod n
//return -1 means doesn't existed
long long inv(long long a, long long n) {
	long long d, x, y;
	exgcd(a, n, d, x, y);
	return d == 1 ? (x + n) % n : -1;
}

欧拉定理

• 求a在模n下的逆元，当n为一个质数时，根据欧拉定理

x = n ** (phi(n) - 1)

phi(n) = n - 1

• 上式中phi(n)为n的欧拉函数，且假设n为质数

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

//get (a ** p) % mod
long long pow_mod(long long a, long long p, long long mod) {
	if (p == 0) return 1;
	long long ans = pow_mod(a, p / 2, mod);
	ans = (ans * ans) % mod;
	if (p % 2) ans = (ans * a) % mod;
	return ans;
}

int main() {
	long long a = 233, mod = 1000000007;
	long long inv = pow_mod(a, mod - 2, mod);	//'inv' is the answer we get
	return 0;
}