自适应辛普森公式求积分

假设我们求以下积分：

∫baf(x)dx

比较特殊的情况，就是可以推导出来最后的形式。但是比较一般的情况是，我们只能大致得到一个XY坐标系里的曲线，我们求的就是曲线和X轴所围成的面积。

因此我们有自适应辛普森公式，他会根据实际情况来自动的调整精度。

它的大致过程就是，给定一个要求达到的精度eps，算法就会根据实际情况递归的划分区间。容易近似的地方少划分，不容易近似的地方多划分几份。

具体来讲，我们在以下情况下直接返回结果,否则递归划分区间：

|S(a,c)+S(c,b)−S(a,b)|<15∗eps

代码如下：

@Frosero
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

double F(double x){     //这里自定义函数
    return x * x + x;
}

double simpson(double a,double b){  //返回区间[a,b]的三点辛普森值
    double c = a + (b - a) / 2.0;
    return (F(a) + 4 * F(c) + F(b)) * (b - a) / 6.0;
}

double asr(double a,double b,double eps,double A){  //自适应辛普森递归过程
    double c = a + (b - a) / 2.0;                   //A为区间[a,b]的三点辛普森值
    double L = simpson(a,c), R = simpson(c,b);
    if(fabs(L + R - A) <= 15 * eps) return L + R + (L + R - A) / 15.0;
    return asr(a,c,eps/2.0,L) + asr(c,b,eps/2.0,R);
}

double asr(double a,double b,double eps){   //自适应辛普森主过程
    return asr(a,b,eps,simpson(a,b));
}

int main(){
    cout<<asr(0,1,0.000001)<<endl;  //测试
    cout<<5.0/6<<endl;              //对比
    return 0;
}

它的证明比较复杂，本着为广大读者减小压力的目标，我就不在这里啰嗦啦！ （其实我也不会）