CF1730

感觉这场的题目出得很好啊，让人忍不住想记录下来！

赛时通过 ABCD，rank \(76\)。

A

把每一种数的出现次数和 \(c\) 取个 \(\min\) 再求和即可。

B

记 \(l = \min_i \{a_i - t_i\}, r = \max_i \{a_i + t_i\}\)，答案即 \(\frac{l + r}{2}\)。

C

直接贪心即可。具体地，最后的串肯定是不减的，所以我们只需要求出每种数字的出现次数即可。发现一个位置的数会被 \(+1\) 当且仅当存在一个小于它的数 \(x\)，使其位于最后一个 \(< x\) 的数右侧、最后一个 \(x\) 左侧；否则这个数可以不用被 \(+1\)。

D \((\texttt{Easy} \ 3 / 0)\)

可能写得比较混乱。

假设 \(s_1 = \texttt{1234567}, s_2 = \texttt{abcdefg}\)，我们手模一种情况，比如最终的串为 \(s'_1 = \texttt{4ef5g67}, s'_2 = \texttt{ab1c23d}\)，我们发现 \(s'_1[i] = s_p[j] \to s'_2[n - i + 1] = s_{3 - p}[n - j + 1]\)，其中 \(p = 1, 2\)。进一步地，我们把 \(s_2\) 反转，并考察 \(s'_1[i], s'_2[i], s'_1[n - i + 1], s'_2[n - i + 1]\)，其必然由 \(s_1, s_2\) 两个位置上的字符构成，设为 \(i, j\)，因为它们可以匹配，所以无序对 \((s_1[i], s_2[i]) = (s_1[j], s_2[j])\)，我们把所有无序对求出来并把相同的进行匹配，可以证明答案为 YES 当且仅当全部匹配完或者最终剩下一个形如 \((c, c)\) 的对。

E \((\texttt{Easy} \ 3 / 4)\)

其实不难想，但是比赛的时候想复杂了，赛后冷静下来就会了。

有许多种 \(\mathcal{O}(n \log n \max d(\omega))\) 的做法，但对于我这个大常数 sb 来说这个复杂度肯定过不去，我们需要寻求时间复杂度更低的做法。

从左到右枚举 \(i\)，钦定最大值为 \(y = a_i\)（如果有多个，钦定最大值为最左侧的）并枚举其约数 \(x\)。\(y = x\) 的情况是容易的，这里仅考虑 \(x < y\) 的情况。此时我们再枚举 \(x\) 在 \(y\) 的左侧还是右侧，以左侧为例，我们现在来考虑什么样的 \(l, r\) 是能被这种情况计入答案的：

• \(l \le i \le r\)；
• \(\forall j < i, a_j = a_i, j < l\)；
• \(\min_{j = l} ^ i a_j = x, \max_{j = l} ^ i a_j = y\)；
• \(\min_{j = i} ^ r a_j \ge x, \max_{j = i} ^ r a_j = y\)。

右侧是类似的。

我们需要 \(\mathcal{O}(1)\) 地回答。发现我们只需要处理每个数出现的所有位置和每个 \(a_i\) 左侧 / 右侧第一个小于 / 大于它的位置即可，所以跑四遍单调栈就能解决问题。

但是其实这么做的话细节很多，在此不一一赘述了，有问题可以看看又臭又长的代码，欢迎大家关注 BraveXuZhiJieGoGoGo 这个号。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \max d(\omega))\)，其中 \(\omega = 10^6\)。

F \((\texttt{Easy} \ 3 / 3)\)

感觉比 E 好想又好写啊！

首先把问题转化为求最少的交换相邻两数的次数，使得交换完成后对于 \(\forall i < j\) 有 \(p_i \le p_j + k\)。

发现对于一个前缀 \(i\)，其中的数肯定 \(\le i + k\)，并且 \(1 \sim i - k\) 肯定已经全部出现了，剩下的是 \(i - k + 1 \sim i + k\) 这 \(2k\) 个数，搜一下发现有 \(2^k\) 种状态满足条件，这很好啊！于是直接设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个数的状态第 \(j\) 种的最小交换次数即可。转移考虑填 \(i - k\) 或者填 \(i - k + 1 \sim i + k\) 的数。

还有一个问题是初值 \(f_{k, j}\) 的预处理。事实上因为只有 \(k\) 个数，直接枚举排列并暴力计算即可！

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n 2^k k^2)\)。