AGC011

这一场居然全部 $\texttt{Easy}$ 了！！！

A

排序以后模拟即可。

B

二分答案，判定从小到大合并即可。

C $(\texttt{Easy} \ 3 / 2)$

发现 $(a, b) \to (c, d)$ 当且仅当存在一对 $a \to c$ 和 $b \to d$ 的路径，使得其长度相等。

因为可以反复横跳，只需要有一条路径长度奇偶性相等即可。

这样的话如果不是二分图那路径奇偶性随意，如果是的话就确定奇偶性了。

分类讨论一下 $a, c$ 和 $b, d$ 分别在哪个连通块内即可。注意，大小为 $1$ 的连通块需要特判。

D $(\texttt{Easy} \ 2 / 0)$

手模一下可以发现一次操作有两种情况：

• $s_1 = \texttt{A}$：直接被撞回去，$s_1$ 变为 $\texttt{B}$；
• $s_1 = \texttt{B}$：把 $s$ 取反后循环左移一位。

感性理解加上打表可以发现 $k > 2n$ 的时候答案有长度为 $1$ 或 $2$ 的循环节，所以可以把 $k$ 降到 $\mathcal{O}(n)$ 级别，然后就可以直接模拟了。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

E $(\texttt{Easy} \ 2 / 1)$

设 $n = a_1 + a_2 + \cdots + a_m$，记 $s_p$ 表示所有 $a_i$ 的十进制第 $p$ 位之和。我们只需要满足以下两点，就一定能构造出 $m = \max \{ \left\lceil \frac{s_p}{9} \right\rceil \}$ 的一组合法解：

• $\sum_i 10^i s_i = n$。
• $s_i \le s_{i + 1}$。

直接二分答案，从后往前确定 $s$ 可以做到 $\mathcal{O}(\log n \log \log n)$，足够通过。

另一个思路是一个数是上升数当且仅当其可以被表示为 $9$ 个形如 $\frac{10^x - 1}{9}$ 的数，那么 $n$ 可以被表示为 $k$ 个上升数的和当且仅当存在 $p_1, \cdots, p_{9k}$，使得

$$9n + 9k = \sum\limits_{i} 10^{p_i}$$

即 $9n + 9k$ 的各位数码之和不超过 $9k$。发现这个 $k$ 并不大，直接枚举可以做到均摊 $\mathcal{O}(\log n)$ 的时间复杂度。

F $(\texttt{Easy} \ 3 / 3)$

题面的图给得好啊！如果没有这张图我估计会多走很多弯路！

我们发现，只要不改变线段的相对顺序，横条是可以任意挪动的。这意味着我们可以钦定 $n \to 0$ 的列车从 $0$ 时刻开始走并且不停歇。

于是我们把问题转化为了在模 $k$ 意义下，有一个初值任意的整数 $x$，每次需要给 $x$ 加上一个数，使得其落在一个区间内，求加数的和的最小值。

设 $f_{i, j}$ 表示 $i$ 次操作后 $x = j$ 的最小值，使用线段树转移就是每次给一个区间重新赋值，直接把所有区间端点离散化，然后维护 $f_j - j$ 的最小值就行了。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$。