IOI2022

提醒：因为 day1 的题目不是刚做的，所以这篇题解就摆烂没好好写了。

鲶鱼塘 $(\texttt{Easy} \ 0 / 3)$

设第 $i$ 列的高度为 $h_i$，若 $h_{i - 1} > h_i < h_{i + 1}$，则可以直接令 $h_i = 0$。

于是可以设 $f_{i, j}$ 表示 $h_{i - 1} \le j = h_i$ 的答案；$g_{i, j}$ 表示 $h_{i - 1} > j = h_i$ 的答案，则根据上面的性质可以方便地转移。

注意到一个状态 $(x, y)$ 有效当且仅当 $y = m - 1$ 或 $(x, y + 1)$ 有鲶鱼，于是可以把状态数缩到 $\mathcal{O}(n + m)$，时间复杂度 $\mathcal{O}((n + m) \log m)$。

囚徒挑战 $(\texttt{Easy} \ 3 / 5)$

先考虑一个做法：从高到低查询 $n$ 的二进制位，这样可以得到一个 $m = \mathcal{O}(\log n)$ 的做法。

发现可以对于每一位采用不同的进制，搜索最优解可以做到 $m = 24$。

发现如果当前的数是可能范围的最大值 / 最小值的话就已经能确定答案了，所以可以在原来的基础上每轮把范围多 $-2$，搜索最优解可以做到 $m = 20$。

非常难写。学了一下最短解的做法，非常厉害。

无线电信号塔 $(\texttt{Medium} \ 4 / 4)$

先考虑 $d$ 固定的情况。设 $l_i, r_i$ 表示 $i$ 左右两侧第一个高度不低于 $h_i + d$ 的信号塔的编号，易于证明 $[l_i, r_i)$ 这些区间要么不交，要么包含，那么我们肯定选择那些不包含其他区间的区间。

我们求出所有有效的三元组 $(l, i, r)$。对于 $[L, R]$ 的询问，首先我们把所有 $i \in [L, R]$ 的三元组拿出来，这些显然是可选的；此外，我们在左右两侧各可能再多选择一个信号塔，考虑如何判定这个东西。

设最左边的三元组为 $(l, i, r)$，$p = \argmax_{L \le j < i} h_j$，那么可以证明我们选择的信号塔一定在 $p$ 左侧，直接判断即可。注意当我们一个三元组都选不出的时候需要特殊处理一下。

于是我们解决了 $d$ 固定的情况。发现对于一个 $d$，若 $[l_j, r_j)$ 包含了 $[l_i, r_i)$，则对于 $\forall d' > d$ 我们都有 $j$ 的区间会包含 $i$ 的区间。所以使用可持久化线段树维护所有三元组的 $i$ 即可。

数字电路 $(\texttt{Easy} \ 2 / 1)$

先考虑如果钦定了每个点的颜色，如何求出方案数。如果 $u$ 有 $k$ 个儿子是 $1$ 并且 $u$ 也是 $1$，那么 $p_u$ 有 $k$ 种选择；否则有 $c_u - k$ 种选择。这相当于对于每个点 $u$ 选择一个与之颜色相同的儿子的方案数，即链剖分的方案数，要保证 $1$ 是黑色当且仅当其所在的链对应的叶子是黑色。

所以我们可以枚举 $1$ 所在的链的叶子，那么其他的点随意选儿子均可对应一种方案。所以叶子之间对答案的贡献是独立的，可以用线段树维护。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$。

最罕见的昆虫 $(\texttt{Medium} \ 4 / 3)$

考虑一个做法：我们依次加入每一个数，如果查询的结果 $> 1$ 即弹出这个数，那么我们可以得到所有颜色各一个，即可以得到颜色种类数。我们删去这些位置之后再进行一遍上面的过程，如果颜色数量减少就说明答案为 $1$；反之可以一直进行。

考虑扩展一下，首先得到颜色数量 $t$，保持众数出现次数 $\le x$，那么答案 $\ge x$ 当且仅当最后容器中一共有 $tx$ 个数，于是可以二分答案。

考虑卡常。如果发现答案 $\ge x$，那么我们可以把当前容器内的数锁在容器里，在以后的操作中不把它们挪出容器；反之，我们可以把当前容器外的数锁在容器外，在以后的操作中不把它们挪进容器，易于证明这样做的正确性。再把二分上界改为 $\left\lfloor \frac{n}{t} \right\rfloor$ 即可通过。

千岛 $(\texttt{Easy} \ 3 / ?)$

胡了一个做法，大概是如果起点的出度 $> 1$ 则必然存在解，否则可以递归求解；构造是找环之类的，要分类讨论。看了下其他题解，好像挺对的，有时间把代码补了。

一般我写下这句话就意味着我不会写代码了。