IOI2022

提醒：因为 day1 的题目不是刚做的，所以这篇题解就摆烂没好好写了。

鲶鱼塘 \((\texttt{Easy} \ 0 / 3)\)

设第 \(i\) 列的高度为 \(h_i\)，若 \(h_{i - 1} > h_i < h_{i + 1}\)，则可以直接令 \(h_i = 0\)。

于是可以设 \(f_{i, j}\) 表示 \(h_{i - 1} \le j = h_i\) 的答案；\(g_{i, j}\) 表示 \(h_{i - 1} > j = h_i\) 的答案，则根据上面的性质可以方便地转移。

注意到一个状态 \((x, y)\) 有效当且仅当 \(y = m - 1\) 或 \((x, y + 1)\) 有鲶鱼，于是可以把状态数缩到 \(\mathcal{O}(n + m)\)，时间复杂度 \(\mathcal{O}((n + m) \log m)\)。

囚徒挑战 \((\texttt{Easy} \ 3 / 5)\)

先考虑一个做法：从高到低查询 \(n\) 的二进制位，这样可以得到一个 \(m = \mathcal{O}(\log n)\) 的做法。

发现可以对于每一位采用不同的进制，搜索最优解可以做到 \(m = 24\)。

发现如果当前的数是可能范围的最大值 / 最小值的话就已经能确定答案了，所以可以在原来的基础上每轮把范围多 \(-2\)，搜索最优解可以做到 \(m = 20\)。

非常难写。学了一下最短解的做法，非常厉害。

无线电信号塔 \((\texttt{Medium} \ 4 / 4)\)

先考虑 \(d\) 固定的情况。设 \(l_i, r_i\) 表示 \(i\) 左右两侧第一个高度不低于 \(h_i + d\) 的信号塔的编号，易于证明 \([l_i, r_i)\) 这些区间要么不交，要么包含，那么我们肯定选择那些不包含其他区间的区间。

我们求出所有有效的三元组 \((l, i, r)\)。对于 \([L, R]\) 的询问，首先我们把所有 \(i \in [L, R]\) 的三元组拿出来，这些显然是可选的；此外，我们在左右两侧各可能再多选择一个信号塔，考虑如何判定这个东西。

设最左边的三元组为 \((l, i, r)\)，\(p = \argmax_{L \le j < i} h_j\)，那么可以证明我们选择的信号塔一定在 \(p\) 左侧，直接判断即可。注意当我们一个三元组都选不出的时候需要特殊处理一下。

于是我们解决了 \(d\) 固定的情况。发现对于一个 \(d\)，若 \([l_j, r_j)\) 包含了 \([l_i, r_i)\)，则对于 \(\forall d' > d\) 我们都有 \(j\) 的区间会包含 \(i\) 的区间。所以使用可持久化线段树维护所有三元组的 \(i\) 即可。

数字电路 \((\texttt{Easy} \ 2 / 1)\)

先考虑如果钦定了每个点的颜色，如何求出方案数。如果 \(u\) 有 \(k\) 个儿子是 \(1\) 并且 \(u\) 也是 \(1\)，那么 \(p_u\) 有 \(k\) 种选择；否则有 \(c_u - k\) 种选择。这相当于对于每个点 \(u\) 选择一个与之颜色相同的儿子的方案数，即链剖分的方案数，要保证 \(1\) 是黑色当且仅当其所在的链对应的叶子是黑色。

所以我们可以枚举 \(1\) 所在的链的叶子，那么其他的点随意选儿子均可对应一种方案。所以叶子之间对答案的贡献是独立的，可以用线段树维护。

时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。

最罕见的昆虫 \((\texttt{Medium} \ 4 / 3)\)

考虑一个做法：我们依次加入每一个数，如果查询的结果 \(> 1\) 即弹出这个数，那么我们可以得到所有颜色各一个，即可以得到颜色种类数。我们删去这些位置之后再进行一遍上面的过程，如果颜色数量减少就说明答案为 \(1\)；反之可以一直进行。

考虑扩展一下，首先得到颜色数量 \(t\)，保持众数出现次数 \(\le x\)，那么答案 \(\ge x\) 当且仅当最后容器中一共有 \(tx\) 个数，于是可以二分答案。

考虑卡常。如果发现答案 \(\ge x\)，那么我们可以把当前容器内的数锁在容器里，在以后的操作中不把它们挪出容器；反之，我们可以把当前容器外的数锁在容器外，在以后的操作中不把它们挪进容器，易于证明这样做的正确性。再把二分上界改为 \(\left\lfloor \frac{n}{t} \right\rfloor\) 即可通过。

千岛 \((\texttt{Easy} \ 3 / ?)\)

胡了一个做法，大概是如果起点的出度 \(> 1\) 则必然存在解，否则可以递归求解；构造是找环之类的，要分类讨论。看了下其他题解，好像挺对的，有时间把代码补了。

一般我写下这句话就意味着我不会写代码了。