AGC009

A

从后往前加。

B

刚开始没看懂题意 WA 了两发 /qd

$\rm dp$ 的时候把子树按照深度从小到大安排即可。

C $(\texttt{Easy} \ 2 / 1)$

简单 $\rm dp$ 题。

设 $f_{0/1, i, j}$ 表示在前 $i$ 个数里面选，第 $i$ 个数在 $A/B$ 集合内，另一个集合中最后选的数是第 $j$ 个的方案数。

使用前缀和优化或线段树优化可以做到 $\mathcal{O}(n)$ 或 $\mathcal{O}(n \log n)$ 的时间复杂度。

D $(\texttt{Medium} \ 4 / 0)$

我想到的唯一一个东西就是这个东西类似于点分治的过程，但是没什么用。

首先不难发现答案是 $\log n$ 级别的。对于每个点，记录一下它被加进来的时间 $t$，那么对于一种方案，它合法当且仅当对于 $\forall u, v$ 使得 $t_u = t_v = x$，$u \to v$ 的路径上都存在一个点 $w$，使得 $t_w > x$。

所以我们考虑从叶子往根贪心选取。我们称一个节点被满足当且仅当其在目前的 $\rm dfs$ 过程中已经确定了一个祖先节点，它的 $t$ 值大于这个节点。每次 $\rm dfs$ 一个点的时候，我们需要记录未被满足的点的时间集合，记为 $s$。确定 $u$ 的 $t$ 值的时候，我们需要考虑两种限制：

• $t_u$ 不能在 $s_v$ 中出现，否则 $s_v$ 对应点到 $u$ 的路径不满足了。
• 如果对于 $v_1 \ne v_2$，有 $k \in s_{v_1} \cap s_{v_2}$，那么 $t_u > k$，否则对应两点的路径不满足了。

把限制理清楚之后就可以直接贪心了。时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

E $(\texttt{Easy} \ 3 / 0)$

简单的 E 题。

考虑用类似 $\rm Kruskal$ 重构树的方法把操作树建出来，那么深度为 $i$ 的数 $x$ 对答案的贡献就是 $x \times k^{-i}$。设 $c_{i, 0/1}$ 表示深度为 $i$ 的 $0/1$ 的个数。

发现 $c$ 不同，最后的答案不一定不同，原因是 $c_{i, 0 / 1} \ge k$ 导致的，例如把 $k$ 个 $0$ 放在哪一层答案都一样。如果存在这种情况，可以看作是 $0/1$ 的个数减少了 $k - 1$。

设 $f_{d, t}$ 表示操作树深度为 $d$，钦定 $c_{i, 0/1} < k$ 的不同数个数，$1$ 的个数为 $t$ 时的方案数。有了这个钦定的条件，操作树除了深度最大的非叶节点有 $k$ 个叶子节点儿子外，其余的所有非叶节点都仅有 $1$ 个非叶节点儿子，所以 $0$ 的个数也是固定的，方案数可以通过简单 $\rm dp$ 得出，最终的答案就是

$$\sum\limits_{i(k - 1) < n} \sum\limits_{j(k - 1) < m} f_{\frac{n + m - 1}{k - 1} - i - j, n - i(k - 1)}$$

时间复杂度 $\mathcal{O}((n + m) ^ 2)$。