§1.1域
§1.2矩阵的基本运算
§1.3\(\text{Gauß}\)消元与矩阵的相抵标准型
第一节 域
定义：一个群是指一个集合\(G(|G|\ge1)\) 与二元运算\(*\)，满足：
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封闭性：\(\forall a,b\in G,a*b\in G;\)
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结合律：\(\forall a,b,c\in G,(a*b)*c=a*(b*c);\)
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存在恒元 ：\(\exists e\in G.\forall a\in G,a*e=e*a=a;\)
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存在逆元： \(\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,a*a^{-1}=a^{-1}*a=e;\)
注：恒元与逆元是唯一的：
\(\blacktriangleleft\)其实，设\(e_1,e_2\)都是恒元，则\(e_1=e_1*e_2=e_2\);
设\(b,c\)都是\(a\)的逆元，则\(b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c。\blacktriangleright\)
定义：若群\(G\)满足\(\forall a,b\in G,a*b=b*a\)，则称\(G\)是交换群，又称\(\text{Abel}\)群。
定义：若非空集合\(F\)及二元运算\(+\)与\(\cdot\)满足：
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\((F,+)\)是\(\text{Abel}\)群（常称其中恒元为零元，记为\(0_F\)；
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\((F\backslash\{0_F\},\cdot)\)是\(\text{Abel}\)群（常称其中恒元为幺元，记为\(1_F\)）；
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\(\forall a,b,c\in F,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c,a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)。
则称\((F,+,\cdot)\)为一个域。（以后未加说明均默认\(F\)是一个域。）
注：\(0\)是不可逆的：
\(\blacktriangleleft\)其实，对于任意的\(a\in F,0\cdot a=(0+0)\cdot a=0\cdot a+0\cdot a\)，同时加上\(-(0\cdot a)\)知\(0\cdot a=0\)，而\(0\ne1\)（否则\(F\)中只有\(0\)这一个元素，矛盾！）\(\blacktriangleright\)
定义：若\(F\)上的不可约多项式均为一次式，则称\(F\)为代数闭域。
定义：若存在\(n\in\mathbb{N}_+\)使得\(\underbrace{1+\cdots1}_{n\text{个}1}=0\)，则称最小的这样的\(n\)为\(F\)的特征，记为\(\operatorname{char}(F)\)；若这样的\(n\)不存在，则记\(\operatorname{char}(F)=0\)。
第二节 矩阵的基本运算
定义：\(F^n:=\Bigg\{\begin{bmatrix}a_1 \\ \vdots\\ a_n \end{bmatrix}\Bigg|a_1,\cdots a_n\in F\Bigg\}\)，其中元素称为\(n\)维列向量；
\(F^{(n)}:=\Bigg\{\begin{bmatrix}a_1, \cdots , a_n \end{bmatrix}\Bigg|a_1,\cdots a_n\in F\Bigg\}\)，其中元素称为\(n\)维行向量；
\(F^{m\times n}:=\Bigg\{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots& a_{1n} \\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots &a_{mn} \end{bmatrix}\Bigg|a_{11},\cdots a_{mn}\in F\Bigg\}，其中元素\)称为\(m\times n\)阶矩阵，当\(m=n\)时称为\(n\)阶方阵。
定义：
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对于\(A=[a_{ij}]_{l\times m},B=[b_{ij}]_{m\times n}\)，记\(c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^m a_{ik}b_{kj}(1\le i\le l,1\le j\le n)\)，称\(C=[c_{ij}]_{l\times n}\)为\(A\)右乘\(B\)的积，记为\(C=AB\)。（一般不可交换）
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\(c\in F,A\in F^{m\times n},cA:=[ca_{ij}]_{m\times n}\)
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\(A,B\in F^{m\times n},A+B:=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}\)
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\(A\in F^{m\times n},A^T:=[a_{ji}]_{n\times m}\)称为\(A\)的转置。
定义：\(O_{m\times n}:=[0]_{m\times n}\)，易知其为加法恒元；
\(\operatorname{diag}[a_1,\cdots,a_n ]:=\begin{bmatrix}a_1&0&\cdots&0\\0&a_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_n \end{bmatrix}\)称为对角阵，所在的这条对角线称为方阵的主对角线，与之对称的称为副对角线；
\(I_n:=\operatorname{diag}[\underbrace{1,\cdots ,1}_{n个1}]\)称为\(n\)阶单位阵，易见其为乘法恒元。
称\(A=[a_{ij}]\)为上三角阵，如果\(\forall i>j,a_{ij}=0\)。若\(A^T\)为上三角阵，则称\(A\)为下三角阵。
以下为了简洁，定义如下不通用记号：\([X]_{ij}:=X\)的第\((i,j)\)位元素。
命题：
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\((AB)C=A(BC)\);
-
\((A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC\);
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\((A^T)^T=A,(AB)^T=B^T A^T\)。
\(\blacktriangleleft\)
- 其实，设\(A\in F^{l\times m},B\in F^{m\times n},C\in F^{n\times k}\)，则对于\(1\le i\le l,1\le j\le k\)有
\([(AB)C]_{ij}=\sum\limits_{p=1}^n [AB]_{ip}C_{pj}=\sum\limits_{p=1}^n \sum\limits_{q=1}^m [A]_{iq}[B]_{qp}[C]_{pj}= \sum\limits_{q=1}^m \sum\limits_{p=1}^n[A]_{iq}[B]_{qp}[C]_{pj}=[A(BC)]_{ij}\)
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这由分配律是显然的。
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第一条由转置的定义显然，对于第二条，其实，设\(A\in F^{l\times m},B\in F^{m\times n}\)，则对\(1\le i\le n,1\le j\le l\),\([(AB)^T]_{ij}=[AB]_{ji}=\sum\limits_{k=1}^m[A]_{jk}[B]_{ki}=\sum\limits_{k=1}^m[B^T]_{ik}[A^T]_{kj}=[B^TA^T]_{ij}。\blacktriangleright\)
定义（非正式的）：设\(A\)为 \(m\times n\)矩阵，在其某些行与列之间插入若干直线将\(A\)分为若干块，这样所构成的矩阵称为分块矩阵。
我们可以仿照定义准上（下）三角阵、对角阵。
命题（分块乘法）：对于任意\(A_{ij}\in F^{l_i\times m_j}(1\le i\le p,1\le j\le q),B_{jk}\in F^{m_j\times n_k}(1\le j\le q,1\le k\le r)\)，若设\(C_{ik}=\sum\limits_{j=1}^qA_{ij}B_{jk}(1\le i\le p,1\le k\le r)\)，则
\(\blacktriangleleft\)
先去证明，
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\(\begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}B1\\B2\end{pmatrix}=A_1B_1+A_2B_2\)
-
\(\begin{pmatrix}A_1\\A_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}B1&B2\end{pmatrix}=A_1B_1+A_2B_2\)
之后再对\(p,q\)归纳即证。
1的证明：\([A_1B_1+A_2B_2]_{ij}=[A_1B_1]_{ij}+[A_2B_2]_{ij}=\sum\limits_k[A_1]_{ik}[B_1]_{kj}+\sum\limits_k[A_2]_{ik}[B_2]_{kj}\quad\quad\quad\quad\quad(*)\)
\(\bigg[\begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}B1\\B2\end{pmatrix}\bigg]_{ij}=\sum\limits_k\bigg[\begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix}\bigg]_{ik}\bigg[\begin{pmatrix}B1\\B2\end{pmatrix}\bigg]_{kj}= \sum\limits_{k=1}^{m_1}\bigg[\begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix}\bigg]_{ik}\bigg[\begin{pmatrix}B1\\B2\end{pmatrix}\bigg]_{kj}+\sum\limits_{k=m_1+1}^{m_1+m_2}\bigg[\begin{pmatrix}A_1&A_2\end{pmatrix}\bigg]_{ik}\bigg[\begin{pmatrix}B1\\B2\end{pmatrix}\bigg]_{kj}=(*)\quad\Box\)
