第一讲分圆多项式

合集 - 2nd turn of Elemental Number Theory (1)

1.第一讲分圆多项式2023-09-24

$Df 1 : ε$ 是 $n$ 次单位根，即 $ε^{n} = 1$ ，则存在最小的正整数 $k$ 使得 $ε^{k} = 1$ （由带余除法， $k ∣ n$ ），则称 $k$ 为 $ε$ 的阶，记作 $ord (ε) = k$ 。特别地，若 $ord (ε) = n$ ，则称 $ε$ 为 $n$ 次本原单位根（有 $φ (n)$ 个）。
$Df 2 : ε_{n} = e^{\frac{2 π i}{n}}, Φ_{n} (x) ≜ \prod_{1 \leq k \leq n, gcd (n, k) = 1} (x - ε_{n}^{k}) = \prod_{ord (ε) = n} (x - ε)$ 称为 $n$ 次分圆多项式。（第二个等号是因为当且仅当 $n, k$ 互素时， $e^{\frac{2 i k π}{n}}$ 为本原单位根）
性质：

$Φ_{n} (x)$ 为首一的复系数多项式；
对于素数 $p$ ， $Φ_{p^{k}} (x) = \frac{x^{p^{k}} - 1}{x^{p^{k - 1}} - 1}$ 。

$Thm 1 : x^{n} - 1 = \prod_{d ∣ n} Φ_{d} (x)$
$Pf : x^{n} - 1 = \prod_{ε^{n} = 1} (x - ε) = \prod_{d ∣ n} \prod_{ord (ε) = d} (x - ε) = \prod_{d ∣ n} Φ_{d} (x) ◻$

$Thm 2 : \forall n \geq 2, Φ_{n} (0) = 1$
$Pf 1 : Φ_{n} (0) = \prod_{ord (ε) = n} - ε = (- 1)^{φ (n)} \cdot \prod_{1 \leq k \leq \frac{n}{2}, gcd (k, n) = 1} (ε_{n}^{k} \cdot ε_{n}^{n - k}) = (- 1)^{φ (n)} = 1 (n \geq 3); Φ_{2} (0) = 0 + 1 = 1 ◻$
$Pf 2 :$ 对 $n$ 归纳。 $n = 2$ 时 $Φ_{2} (0) = 0 + 1 = 1$ 。设 $< n$ 成立， $n$ 时， $Φ_{n} (0) = \frac{0^{n} - 1}{\prod_{d ∣ n, d \neq n} Φ_{d} (0)} = \frac{- 1}{0 - 1} = 1 ◻$

$Thm 3 : Φ_{n} (x) \in Z [X]$
$Pf :$ 对 $n$ 归纳。 $n = 1$ 时 $Φ_{1} (x) = x - 1$ ，下设 $< n$ 成立， $n$ 时，记 $\prod_{d ∣ n, d \neq n} Φ_{d} (x) = g (x)$ ，则 $Φ_{n} (x) \cdot g (x) = x^{n} - 1$ ，由归纳假设， $g (x)$ 为首一的整系数多项式。只需证明下面的引理就证明了原命题：
$Lm : f \in Z [X], g \in C [X],$ 二者皆首一，且 $f g \in Z [X]$ ，则 $g \in Z [X]$
$Pf : 令 g (x) = \sum_{i = 0}^{n} g_{i} x^{i} (g_{i} \in C, g_{n} = 1), f (x) = \sum_{i = 0}^{m} f_{i} x^{i} (f_{i} \in Z, f_{m} = 1) ，则由题，考虑次数为 m + n - 1 的项知 g_{n - 1} \in Z, 之后同理归纳即证。 ◻$