[ARC171B] Chmax

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Solution

首先可以发现相同 $a_i$ 的元素可以形成一条链。

问题很容易转化为：给定若干线段 $[l_i,r_i]$，要求 $i$ 能连向 $j$ 当且仅当 $l_j<r_i$，求生成环集的数量。

容易发现两个点之间至少有一条边，当且仅当两线段不交时，左侧线段无法连向右侧线段。

感觉直接莽不舒服，转成补图就舒服多了。

超集反演。记 $U$ 表示补图边全集，$w(S)$ 表示生成图边集 $\cap U=S$ 的方案数，$W(S)$ 表示生成图边集 $\cap U\supseteq S$ 的方案数。显然有 $W(S)=\sum _{S\subseteq T}w(T)⟺w(S)=\sum _{S\subseteq T}(-1{)}^{|T|-|S|}W(T)$。于是答案为：

$$\begin{array}{r}w(\mathrm{\varnothing })=\sum _S(-1{)}^{|S|}W(S)\end{array}$$

$W(S)$ 可以 DP 求出。将线段按左端点排序并依次编号（以下直接称线段为点了），记 $f_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 个点，共连了 $j$ 条不合法边的方案数。现在考虑 $f_{i-1}\to f_i$ 的转移，假设当前点 $i$ 的入度为 $c$，则：

$$\begin{array}{rl}{f}_{i,j}& \leftarrow f_{i-1,j}\\ f_{i,j+1}& \leftarrow (c-j)f_{i-1,j}\end{array}$$

正确性在于：如果 $i\to j$，$k>j$，则 $i\to k$。

此做法其实是将原问题形式化成了该问题：给定一个非负不降整数序列 $a_1,\dots ,a_n$（即入度序列），对 $i=1,\dots ,n$ 求选取 $i$ 个元素的带权方案数，权值定义为 $\prod _{j=0}^{i-1}(c_j-j)$，其中 $c$ 序列是你选取的数。这个我还不会更优复杂度。code ARC171B - $O(n^2)$

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回到第二步:|考虑给每个右端点匹配一个左端点，如果一个位置是左端点则 ++cnt，如果一个位置是右端点则 ans *= cnt, --cnt。😐 code code ARC171B - $O(n)$