P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和

P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和

Problem

给定最高次幂为 $x^m$ 的多项式函数 $g(x)$ 和整数 $n,q$，其中 $g$ 以点值形式给出，即给定 $g(0),g(1),\dots ,g(m)$。求：

$$\begin{array}{r}Q(g,n,q)=\sum _{k=0}^{n}g(k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})q^k(1-q{)}^{n-k}\end{array}$$

对 $998244353$ 取模的结果。

$1\le n\le {10}^9$，$1\le m\le 2\times {10}^4$，$0\le g(i),q<998244353$。

Solution

前提紧要：如何优雅地排序。你应该能猜到发生了什么。干脆一鼓作气把这道题扬了。

还是先来确定 $a$、$F(x)$ 和 $G(x)$。

$$\begin{array}{r}Ans=\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]F(G(x))=\sum _{k=0}^n{f}_k\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]G(x{)}^k=\sum _{k=0}^{n}g(k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})q^k(1-q{)}^{n-k}\end{array}$$

我们已知 $g(0),g(1),\dots ,g(m)$，又根据上面的等式，考虑将 $g$ 的 $m+1$ 个点值与 Binomial Sum 标准形式中作为条件的 $m+1$ 和式进行关联，即：

$$\begin{array}{r}g(k)=\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]G(x{)}^k\end{array}$$

这样可以同时得到 $f_k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})q^k(1-q{)}^{n-k}$。于是得到 $F(x)$：

$$\begin{array}{r}F(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})q^k(1-q{)}^{n-k}{x}^k=(qx+1-q{)}^n\end{array}$$

接下来是 $a$ 和 $G(x)$，可以发现它们是绑定在一起的。

通过展开 $g(x)=\sum _{i=0}^m{g}_i{x}^i$，我们可以看到这一点：

$$\begin{array}{r}g(k)=\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]G(x{)}^k=\sum _{i=0}^m{g}_i{k}^i\end{array}$$

这里 $k^i$ 又出现了，于是 $G(x)$ 还是我们的老伙计 $e^x$，不过这一次它扔掉了它的拐杖 $q$。让我们来看看 $G(x)$ 的表现吧：

$$\begin{array}{r}g(k)=\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]e^{kx}=\sum _{i=0}^m{a}_i\frac{k^i}{i!}=\sum _{i=0}^m{g}_i{k}^i\end{array}$$

于是 $a_i=i!$。这样的结果并不令人意外。

实际上，我们可以发现 $G(x)$ 和 $a$ 更像是趋于形式的事物。

更富有人情味地讲——如果你是 $F(x)$，能有 $G(x),a$ 这样的好伙计的话，想必是非常幸福的。

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（以下画风与上文有所差异）

参考文献

$F(x)$ 要开始它的表演了。

首先是犯下傲慢之罪的微分方程，以为自己是高达 $n+1$ 项的多项式，于是毫不珍惜地抛出了一坨 $(qx+1-q)F^{{}^{\prime }}(x)$。等式右侧的 $0$ 是神的旨意，是完美的造化，它凝视着 $F(x)$ 幼稚的挑衅。为什么说是挑衅，注意到等式中的减号就像一截锋利的匕首，其实 $F(x)$ 有刺杀神灵之意，世人称其为 “丢匕”。

$$\begin{array}{r}S(x)=nqF(x)-(qx+1-q)F^{{}^{\prime }}(x)=0\end{array}$$

说时迟那时快，$F(x)$ 变成了 $F(x+1)$。这招叫做多项式平移。

为什么每个 $x$ 都变成了 $x+1$？其实我们还没有提到等式左侧 $S(x)$，好巧不巧，这个玩意儿的名字叫做 “丢笔”。传说在 $S(x)$ 降生之时，世间万物都听到了它振聋发聩的怒吼声，使得万物为之一颤：“我和你们每个人，都有 $1$ 笔账要算。”所以每一项都加了个 $1$。

$$\begin{array}{r}S(x+1)=nqF(x+1)-(qx+1)F^{{}^{\prime }}(x+1)=0\end{array}$$

接着是犯下懒惰之罪的多项式截取：$\mathcal{F}(x+1)=F(x+1)mod{x}^{m+1}$。$F$ 家族攒下来的 $n+1$ 项财产，由于 $\mathcal{F}$ 的畏难情绪，只剩下了 $m+1$ 项。

注意到 $S$ 变成了 $\mathcal{S}$，与 $\mathcal{F}$ 的畏难情绪相反，$\mathcal{S}$ 不仅不因为自己的智商感到自卑，还努力依靠自己记忆力的优势不断精通世间万物的真理，成为了 “所有人的物理老师”（出处：欧拉被称为 “全人类的数学老师”）。

再注意到右侧的神灵 $0$ 变成了 $\mathcal{D}(x)$，其实 $\mathcal{D}(x)$ 是 dewbee 的简称，这说明丢笔的造化很深，神灵已经为它留下了一席之位。

著名的化学家 GY 也是一位即将一步登天的人，他离成为祖宗只有一步之遥（迫真）。GY 曾经说过：“我的时间是不多了，但比你的时间多”。这能够表明他对丢笔崇高的敬意与可望不可及的畏难情绪。

$$\begin{array}{r}\mathcal{S}(x+1)=nq\mathcal{F}(x+1)-(qx+1){\mathcal{F}}^{{}^{\prime }}(x+1)=\mathcal{D}(x)\end{array}$$

设 $F(x+1)=\sum _{i=0}^n{f}_i{x}^i$，则 $\mathcal{F}(x+1)=\sum _{i=0}^m{f}_i{x}^i$，${\mathcal{F}}^{{}^{\prime }}(x+1)=\sum _{i=0}^{m}i{f}_i{x}^{i-1}=\sum _{i=0}^{m-1}(i+1)f_{i+1}{x}^i$。

考察前 $m+1$ 项。发现只有第 $m+1$ 项不完整（即不为 $0$），所以可以设 $\mathcal{D}(x)=a{x}^m$，并通过一通计算得到：

$$\begin{array}{r}a=nq{f}_m-qm{f}_m\end{array}$$

求 $f_m$ 是容易的。$F(x+1)=(qx+1{)}^n$，所以 $f_m=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})q^m$。

然后是犯下贪婪之罪的整式递推。我们现在想要求出 $\mathcal{F}(x)$ 第 $0\sim m$ 项的系数 ${\mathcal{f}}_0,\dots ,{\mathcal{f}}_m$，众所周知这是可以用 NTT 碾过去的，但是整式递推否决了这个想法。

尽管如此，丢笔认为整式递推仍然具有畏难情绪。对于这种简单的问题，“放第二小问都太简单了，更不要谈第三小问”，整式递推这种低效的算法在丢笔面前显然是不堪入目。“做事情要讲究效率。”丢笔如是说。

化学家 GY 曾就【贪婪】这一概念与丢笔谈笑风生。“你【数据删除】是为了【数据删除】吗？”丢笔对此评价是：”你不用管这些。“表现出了丢笔优雅的自尊心理与摈弃世俗的超凡眼光。

整式递推显然还不够贪婪，所以它触犯了贪婪之罪。

$$\begin{array}{r}nq\mathcal{F}(x)-(qx+1-q){\mathcal{F}}^{{}^{\prime }}(x)=\mathcal{D}(x-1)=a(x-1{)}^m\end{array}$$

书写递推式：

$$\begin{array}{r}nq{\mathcal{f}}_i-qi{\mathcal{f}}_i-(1-q)(i+1){\mathcal{f}}_{i+1}=a(-1{)}^{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})\\ {\mathcal{f}}_i=\frac{a(-1{)}^{m-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})+(1-q)(i+1){\mathcal{f}}_{i+1}}{q(n-i)}\end{array}$$

递推边界为 ${\mathcal{f}}_{m+1}=0$。当 $n<i$ 时，特判 ${\mathcal{f}}_i=0$。当 $n=i$ 时，特判 ${\mathcal{f}}_n=q^n$。$q=0$ 不想管了，因为代回去 $0^0$ 无意义。

代回答案式：

$$\begin{array}{rl}Ans& =\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]F(G(x))\\ & =\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]\mathcal{F}(G(x))\\ & =\sum _{k=0}^m{\mathcal{f}}_k\sum _{i=0}^m{a}_i[x^i]G(x{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^m{\mathcal{f}}_{k}g(k)\end{array}$$

所以说，丢笔才是神，前面忘了中间忘了后面忘了。

你说得对，但是我推式子时把一个正负号写错了。