割函数是子模函数
然而 Ishy 并不会证这个标题。但是 Ishy 会证那个最具标志性的不等式。
记 \(\mathrm{cut}(A)\) 表示点集 \(A\) 与其在流网络上的补集的切割值，\(\mathrm{cut}(A, B)\) 表示点集 \(A\) 向 \(B\) 的广义切割值（即起点在 \(A\)、终点在 \(B\) 的边权和）。
记 \(A / B\) 表示 \(A\) 中去除掉包含于 \(B\) 中的元素后剩下的集合。
则有结论：
\[\begin{aligned}
\newcommand\cut[1]{\mathrm{cut}#1}
\colorbox{yellow}{$\cut(A \cup B) + \cut(A \cap B) \le \cut(A) + \cut(B)$} \\
\end{aligned}
\]
证明：建议画个韦恩图出来，能够更加直观地理解推导过程。
\(\cut(A \cup B)\)：
\[\begin{aligned}
\cut(A \cup B) &= \cut(A \cup B, \overline{A \cup B}) \\
&= \cut(\overline{A \cup B}, A / B + B / A) + \cut(\overline{A \cup B}, A \cap B) \\
\end{aligned}
\]
\(\cut(A \cap B)\)：
\[\begin{aligned}
\cut(A \cap B) &= \cut(A \cap B, A / B + B / A) + \cut(A \cap B, \overline{A \cup B}) \\
\end{aligned}
\]
简化左式（以凑出一些项具有完整的 \(A , B\)）：
\[\begin{aligned}
LHS &= \cut(\overline{A \cup B}, A / B + B / A)+ \cut(\overline{A \cup B}, A \cap B) + \cut(A \cap B, A / B + B / A) + \cut(A \cap B, \overline{A \cup B}) \\
&= \cut(A \cap B, A / B + B / A) + \left( \cut(\overline{A \cup B}, A / B) + \cut(\overline{A \cup B}, A \cap B) \right) + \left( \cut(\overline{A \cup B}, B / A) + \cut(\overline{A \cup B}, A \cap B) \right) \\
&= \cut(A \cap B, A / B) + \cut(A \cap B, B / A) + \cut(\overline{A \cup B}, A) + \cut(\overline{A \cup B}, B) \\
\end{aligned}
\]
展开右式（以贴合左式的形式）：
\[\begin{aligned}
RHS &= \cut(A, B / A + \overline{A \cup B}) + \cut(B, A / B + \overline{A \cup B}) \\
&= \cut(B, A / B) + \cut(A, B / A) + \cut(\overline{A \cup B}, A) + \cut(\overline{A \cup B}, B) \\
\end{aligned}
\]
由于 \(\cut(B, A / B) \ge \cut(A \cap B, A / B)\)，\(\cut(A, B / A) \ge \cut(A \cap B, B / A)\)，所以 \(LHS \le RHS\)。得证。
