[ABC176F] Brave CHAIN
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Problem
hhoppitree 有 \(3n\) 张卡片，其中每张卡片上都写着 \(1\sim n\) 中的一个数，他会重复以下操作 \(n-1\) 次：
- 将最左侧的 \(5\) 张牌任意排列，排列后，删去最左侧的 \(3\) 张牌，如果这三张牌上写着同样的数，hhoppitree 可以获得 \(1\) 分。
最后，如果剩余的 \(3\) 张牌上的数字一样，那么他还可以额外得到 \(1\) 分。
现在，hhoppitree 想要知道，他得到的分数最高是多少。
\(1 \le N \le 2000\)，\(1 \le A_{i} \le N\)。
Solution
有一个显然的 \(O(n^3)\) DP，记 \(f_{i, x, y}\) 表示进行了 \(i\) 次操作，剩余序列的左起第一个元素为 \(x\)、第二个元素为 \(y\) 的最大分数。之所以能这样记是因为第 \(i\) 次操作后被影响的是一段 确定 的前缀，即每次操作会影响到 \(3\) 个 确定 的元素，因此只需记录由之前操作剩下的 \(2\) 个元素即可知道当前操作需要执行的 \(5\) 个元素是什么。
由于枚举状态的时间复杂度就达到了 \(O(n^3)\)，因此我们不能枚举所有状态。由于 \(f_{i, x, y}\) 对于 \((x, y)\) 关于 \(i\) 单调不降，因此可以考虑采取滚动数组转移，转移时只需枚举需要被更新的状态。
考虑给这个 DP 加上一些策略来优化它，比如这个贪心策略：如果当前操作的牌中存在三张相同数字的牌，那么直接打出计入分数。还是容易猜到的。
我们需要一个把策略套进 DP 转移中的方式。由于我们已经知道了每次操作中的其中 \(3\) 个数，我们可以根据这三个数的值去辅助 DP 转移，换句话说，我们可以用这三个确定的元素去 限制被更新的 DP 状态在一个可以接受的枚举范围内。
下面开始转移。
考虑使用 “满三加一” 的策略：
-
若三个数相同：\(f_{i, x, y} \xleftarrow{\max} f_{i - 1, x, y} + 1\)。由于不能枚举所有状态，因此这里可以将 \(+1\) 直接计入最终的答案，而 \(f_{i, x, y}\) 保持不变。
注意：此时需要立即下一步操作，因为这里视作强行将这三张牌打出，不能进行其它操作。
-
若两个数相同，记 \(p\) 为相同的数，\(q\) 为另一个，则：\(f_{i, x, q} / f_{i, q, x} \xleftarrow{\max} \max(f_{i - 1, p, x} + f_{i - 1, x, p}) + 1\)。枚举 \(x\)，更新 \(O(n)\)。
-
记这三个数分别为 \(p, q, r\)，则：\(f_{i, q, r} / f_{i, r, q} \xleftarrow{\max} f_{i - 1, p, p} + 1\)，对 \(q, r\) 也同理更新，\(O(1)\)。
注意：该更新对存在两个数相同的情况也要进行！！！（问题在于对单独的那一个数进行处理）
考虑重排对 DP 值的影响。记三个数为 \(p, q, r\)。
- 把之前剩下的两个数全部打出，则：\(f_{i, p, q} / f_{i, q, p} / f_{i, p, r} / f_{i, r, p} / f_{i, q, r} / f_{i, r, q} \xleftarrow{\max} \max\limits_{1 \le x, y \le n} (f_{i - 1, x, y}, f_{i - 1, y, x})\)。由于 \(\max\) 值可以随更新时动态维护，因此不用枚举 \(x, y\)，仍然是 \(O(1)\) 更新。
- 在剩下的两个数中保留一个，则：\(f_{i, x, p} / f_{i, p, x} / f_{i, x, q} / f_{i, q, x} / f_{i, x, r} / f_{i, r, x} \xleftarrow{\max} \max\limits_{1 \le y \le n}(f_{i - 1, x, y}, f_{i - 1, y, x})\)。同理，对每个 \(x\) 实时维护 \(\max\) 值，实现 \(O(n)\) 更新。
- 将新来的三个数 \(p, q, r\) 全部打出，但这种情况已经被 “满三加一” 的讨论中考虑过了，因此避开了 \(O(n^2)\) 更新。
实现上，可以用 vector 存哪些状态在当轮被更新。
于是总时间复杂度为 \(O(n^2)\)，令人感动。调得令人感动。code ABC176F
