DP of DP（Original Hardcore）
DP of DP（Original Hardcore）
一篇硬核的思考。当我沉心写下，愈发觉得那份相似感是如此浓烈。LB，恰如 DPofDP，神样的创造。
Sayings
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dp套dp一般解决的是一个形如“满足某种条件的情况有多少个”的计数问题，和一般dp不同的是，判断一个情况是否满足条件十分困难，需要dp解决。——william555
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在 dp套dp 里面，我们就将内层 dp 的结果作为外层 dp 的状态进行 dp。——dead_X
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其实，dp 套 dp 也属于在自动机上的 DP，从自动机的角度理解 dp 套 dp 也是有益的。——E_huan
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其实我不是很认同这个名字。在我看来，更应该叫做“建 DAG 优化 DP”。——未欣
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大致一个经典的形式是“求……值为……的方案数”，特点是对于一个给定的情况，我们需要 DP 求出其对应的值，而题目要求对于所有情况求出对应方案数。
换言之内层是求出值是多少或者判断是否合法的判定 DP，而外层是求方案数的计数 DP。
外层 DP 是在根据内层 DP 值建出的 DFA 上进行的。——SoyTony
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DP套DP指的是使用两层DP，以内层结果表示外层状态的一种算法（大多地方的解释），但是我个人认为它更像是一种基于自动机的DP。——xuyuansu
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其基本思想在于将dp的过程视作自动机，将dp的状态视作节点，并在此之上跑自动机dp，从而解决复杂的问题。——cainiaoshanglu
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dp 的本质：通过不同的转移更新状态的答案，就像 DAG 上的拓扑一样。
dp 套 dp 的本质：将内层 dp 的答案作为外层 dp 的状态进行转移。——ctldragon
Minds
注：将 DPofDP、外层DP、内层DP 单独作为专有名词，它们中间不打空格。
This is the core of dynamic programming, namely:
Definition of states and transitions between states (definition of equations of state).
状态和转移，是 DP 的基石。
dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems. —— wiki
wiki 对 DP 的解释和我对 DPofDP 的浅度理解有一个共同的词：break down。
但两者并不尽相同。
DP 的 break down，是开创性的问题简化。对于最原始的搜索、模拟问题，给予一个更加高效的算法，对原问题进行简化。
而我对 DPofDP 理解的 break down，是内层 DP 的融化，它寄身于 外层DP 的状态之中，而游离于 外层DP 的转移之上。
前者是目的性的，思考着 “为什么要 DP”，揭示 DP 的伟大本质；
后者是表观现象，是经过简单观察后常人能得出的结论。
尽管如此，后者仍然耗费了不少时间，但这又是极其必要的，作为迈向本质的桥梁。
所以接下来的问题就十分明确了：为什么要 “DPofDP”？
以我目前对此类题型的观察，DPofDP 始终绕不去的一个观点是：将 内层DP 作为 外层DP 的状态。
这也是一个令人震撼的思想！毫不夸张地说，这是 DPofDP 的核心，是人们为了用 DP 解决问题而主观引入的特别的状态。
内层DP 被拆解成了两个部分——它的状态与转移。
内层DP 的状态（伴随着状态的结果），无疑成为了外层状态的一部分。
内层DP 的转移，就是一件有趣的事情：它既可以被溶解为 外层DP 的状态，也可以并行于 外层DP 的转移。形象地说，前者是 虚转移，后者是 实转移。
当 内层DP 的转移成为 外层DP 的状态时，从现象上看，它就是一个普通的一层 DP——如有些人所说，是在 内层DP 建出的 DFA 上转移，像 DAG 上的拓扑转移那样。
当 内层DP 的转移并行于 外层DP 的转移时，这个转移就是在问题的算法实现流程中以自己的面貌出现的，你仍然可以清楚地分辨出 内层DP 的形态。
人们发明出 DP，将原本困难的问题简化。可人们发现了新的问题——依靠单纯的 DP 也无法解决的问题。
这时，外层DP 依靠 内层DP 完成了问题的解决，内层DP 也实现了它的意义——break down，对问题的简化。
DPofDP 的本质就是 DP 的本质，并且将其放大。
内层DP 为了那份意义而拆解自己，那是一个多么伟大的壮举啊！
就像一个凄美的故事，被埋藏在某个角落的迷宫之中...
